Федеральное агентство по образованию
Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Калмыцкий Государственный Университет
Лабораторный практикум для студентов
факультета математики и физики
Методы интегрирования
Элиста 2006
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
Первообразная. Неопределенный интеграл
Опр1. Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке числовой оси R. Функция , определенная на этом промежутке, называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции на , если
функция непрерывна на ;
во всех внутренних токах x промежутка функция имеет производную и ;
Пример1. Пусть . Тогда функция , является первообразной для так как:
функция определена на области определения функции (т.е. на R);
==.
Заметим, что функции вида , и им подобные также являются первообразными для функции , т. к.
Функции , непрерывны на R (области определения функции);
; .
Таким образом, если - первообразная функции на промежутке , то для любой постоянной функция тоже является первообразной функции на .
Опр 2. Совокупность всех первообразных функции , определенной на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом функции на этом промежутке и обозначается . Символ называется знаком интеграла, - подынтегральной функцией.
Если какая-либо первообразная функции на , то пишут .
Основные свойства неопределенного интеграла:
Пусть функция непрерывна на промежутке и дифференцируема в его внутренних точках, тогда или, что тоже самое .
Пусть функция имеет первообразную на промежутке, тогда для любой внутренней точки промежутка имеет место равенство или, что то же .
Если функции и имеют первообразные на , то и функция также имеет первообразную на , причем .
Обобщение:.
Если функция имеет первообразную на промежутке и – число, то функция также имеет на первообразную, причем при справедливо равенство
Таблица основных интегралов
Таблица дифференциалов:
Вообще
Этой таблицей можно пользоваться.
Так, например, выражение мы будем представлять в виде или выражения в виде и говорить, что подводим функцию или , соответственно, под знак дифференциала.
Замечание: .
Интегралы, получающиеся из табличных «линейным сдвигом» аргумента (т.е. интегралы вида , , ,…) будем называть почти табличными интегралами.
Пример2.
Варианты
Вычислить интегралы:
В-1
В-2
Вопросы к лабораторной работе №1
Дайте определение первообразной функции или интеграла от заданной функции в заданном промежутке.
Какова общая формула записи всех первообразных от заданной функции ?
Что называется неопределенным интегралом от ; как он обозначается? Что такое подынтегральное выражение и подынтегральная функция?
Сформулируйте свойства неопределенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения.
В чем разница между выражениями: и ?
Рассмотрите таблицу основных интегралов. Покажите, как каждая из ее формул получается из соответствующей формулы для производной.
Докажите, что , где - постоянная, не равная нулю.
Чему равен неопределенный интеграл от суммы дифференциалов?
Чему равен интеграл , если известно, что ?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям)
Замена переменной
Пусть функции и определены соответственно на промежутках
и ; функция непрерывна на промежутке и дифференцируема в его внутренних точках. ............