Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Калмыцкий Государственный Университет

Лабораторный практикум для студентов

факультета математики и физики

Методы интегрирования

Элиста 2006

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Первообразная. Неопределенный интеграл

Опр1. Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке числовой оси R. Функция , определенная на этом промежутке, называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции на , если

функция непрерывна на ;

во всех внутренних токах x промежутка функция имеет производную и ;

Пример1. Пусть . Тогда функция , является первообразной для так как:

функция определена на области определения функции (т.е. на R);

==.

Заметим, что функции вида , и им подобные также являются первообразными для функции , т. к.

Функции , непрерывны на R (области определения функции);

; .

Таким образом, если - первообразная функции на промежутке , то для любой постоянной функция тоже является первообразной функции на .

Опр 2. Совокупность всех первообразных функции , определенной на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом функции на этом промежутке и обозначается . Символ называется знаком интеграла, - подынтегральной функцией.

Если какая-либо первообразная функции на , то пишут .

Основные свойства неопределенного интеграла:

Пусть функция непрерывна на промежутке и дифференцируема в его внутренних точках, тогда или, что тоже самое .

Пусть функция имеет первообразную на промежутке, тогда для любой внутренней точки промежутка имеет место равенство или, что то же .

Если функции и имеют первообразные на , то и функция также имеет первообразную на , причем .

Обобщение:.

Если функция имеет первообразную на промежутке и – число, то функция также имеет на первообразную, причем при справедливо равенство

Таблица основных интегралов

Таблица дифференциалов:

Вообще

Этой таблицей можно пользоваться.

Так, например, выражение мы будем представлять в виде или выражения в виде и говорить, что подводим функцию или , соответственно, под знак дифференциала.

Замечание: .

Интегралы, получающиеся из табличных «линейным сдвигом» аргумента (т.е. интегралы вида , , ,…) будем называть почти табличными интегралами.

Пример2.

Варианты

Вычислить интегралы:

В-1

В-2

Вопросы к лабораторной работе №1

Дайте определение первообразной функции или интеграла от заданной функции в заданном промежутке.

Какова общая формула записи всех первообразных от заданной функции ?

Что называется неопределенным интегралом от ; как он обозначается? Что такое подынтегральное выражение и подынтегральная функция?

Сформулируйте свойства неопределенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения.

В чем разница между выражениями: и ?

Рассмотрите таблицу основных интегралов. Покажите, как каждая из ее формул получается из соответствующей формулы для производной.

Докажите, что , где - постоянная, не равная нулю.

Чему равен неопределенный интеграл от суммы дифференциалов?

Чему равен интеграл , если известно, что ?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям)

Замена переменной

Пусть функции и определены соответственно на промежутках

и ; функция непрерывна на промежутке и дифференцируема в его внутренних точках. ............