Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

Введение

Для того, чтобы описать динамику различных процессов, протекающих в природных и в технических системах, составляют, опираясь на физические законы, дифференциальные уравнения. Так, в частности, приходится поступать при исследовании функционирования автоматических систем; работы судовых энергетических комплексов, электрических агрегатов, судовых вспомогательных механизмов, систем навигации и т.д. В ряде случаев эти уравнения допускают линеаризацию и могут быть записаны в виде:

,

где y(t) – неизвестная функция, a0, a1,...an – постоянные коэффициенты, а j(x) – некоторая известная функция независимого аргумента t, которая обычно выражает внешнее воздействие, оказываемое на систему.

1. Цель контрольной работы

Приобретение навыков алгоритмизации и программирования задач численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с последующим моделированием результатов на персональном компьютере и представлением их в виде таблиц и графиков.

В результате выполнения контрольной работы студент обязан:

1.   Научиться решать линейные дифференциальные уравнения численными и символьными методами в рамках пакета компьютерной математики MathCAD.

2.   Ознакомиться с основными алгоритмами существующих компьютерных методов.

3.   Определить точность этих методов путем сравнения результатов, получаемых путем приближенного и аналитического решений.

2. Аналитические методы

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка – неизвестная функция y(t) – содержит n произвольных постоянных. Их можно определить, зная начальные условия, накладываемые на неизвестную функцию и на ее производные вплоть до (n-1)-порядка включительно. Аналитически (в символьном виде) такие уравнения решают классическим и операционным методами.

 

2.1 Классический метод

 

В ограниченном числе случаев вида левой части (1) допускает такое преобразование, которое позволяет найти решение путем непосредственного интегрирования, однако в общем случае порядок решения – иной.

Решение неоднородного дифференциального уравнения (с ненулевой правой частью) является суммой общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения y1(t) и частного решения y2(t) неоднородного дифференциального уравнения (1).

Решение однородного уравнения ищем в виде: . Подстановка его в дифференциальное уравнение приводит к характеристическому алгебраическому уравнению n-ного порядка:

,

которое имеет n корней – . В частном случае отсутствия кратных корней общее решение может быть записано в виде:

,

где Сi – произвольные постоянные, которые находятся из начальных условий.

Имеются правила, позволяющие определить вид y2(t) частного решения в зависимости от вида правой части – функции j(t). Последующая подстановка общего решения в исходное дифференциальное уравнение позволяет найти неопределенные константы Ci в выражении для y1(t).

«Классический» метод анализа процессов в настоящее время используется только в случае простейших систем, поскольку необходимость нахождения частного решения часто приводит к сложным преобразованиям, а также, кроме решения характеристического уравнения дополнительно необходимо составить и решить n уравнений для определения постоянных интегрирования.

 

2.2 Метод операционного исчисления

Суть метода состоит в проведении интегрального преобразования Лапласа функции, входящей в состав дифференциального уравнения, по правилу:

,

где s = a+ j×b – комплексная переменная величина. ............