Механические колебания в дифференциальных уравнениях Реферат Выполнил: студент гр. МХТ-02 Казаков Василий Васильевич Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова Магнитогорск 2003
    Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания. Гармонические колебания.
    Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).
    Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.
    Решение
    Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.
    Пусть ? означает удлинение пружины в данный момент, а ?ст-статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда ?=?ст+х, или ?-?ст=х.
    Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g-масса груза а-ускорение движения и F-равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.
    По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: Fупр=-с?, где с - постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.
    
    Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= с?ст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим ?-?ст через х, получится уравнение в виде:
    
    или, обозначив с/m через k2,
    (1)
    Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
    
    имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение
    
    Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим:
    
    Если положить
    
    то
    (2)
    График гармонических колебаний имеет вид:
    
    Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.
    Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент - фазой колебания. ............