1.
    *1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x1+?(-?), тогда и только тогда, когда существуют , , причем при x-->+?(-?) наклонная асимптота называется правой (левой). Док-во: Предположим, что кривая y=f(x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b при x-->+?, т.е. имеет место равенство f(x)=kx+b+a(x). Тогда . Переходя к пределу при x-->+?, получаем . Далее из f(x)=kx+b+a(x)--> b=f(x)-kx-a(x). Переходя к пределу при x-->+?, получаем . Докажем обратное утверждение. Пусть пределы, указанные в теореме, существуют и конечны. Следовательно, f(x)-kx=b+a(x), где a(x)-->0, при x-->+?(-?). Отсюда и получаем представление f(x)=kx+b+a(x). Теорема доказана.
    Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем при x-->+?(-?) - правой (левой). 2. *1. Точку х0 назовем стандартной для функции f(x), если f(x) дифференцируема в точке x0 и f?(x0)=0. *2. Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум, то либо x0 - стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x0. Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным. Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0, в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x0 слева направо f?(x) меняет знак с + на -, то точка x0 является точкой максимума, при перемене знака с - на + точка x0 является точкой минимума. Док-во: Пусть x?(a,b), x?x0, (a,b) - достаточно малая окрестность точки x0. И пусть, например, производная меняет знак с + на -. Покажем что f(x0)>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x0] или [x0,x]) f(x)-f(x0)=(x- x0)f?(?), где ? лежит между x0 или x: а) x< x0==>x- x00==>f(x)-f(x0)f(x0)>f(x); б) x>x0==>x-x0>0, f?(?)f(x)-f(x0)f(x0)>f(x). Замечание 2. Если f?(x) не меняет знака при переходе через точку х0, то х0 не является точкой экстремума.
    Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 - стационарная точка функции y=f(x), которая имеет в точке x0 вторую производную. Тогда: 1) f??( x0)>0==>f имеет в точке x0 локальный минимум. 2) f??( x0)f имеет в точке x0 локальный максимум. 3. *1. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной в любой точке этой дуги. *2. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной в любой точке этой дуги. Т1. Пусть y=f(x) имеет на (a,b) конечную 2-ю производную. Тогда: 1) f??(x)>0, ?x?(a,b)==>график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз; 2) ) f??(x)график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вверх *3. Точка (c,f(с)) графика функций f(x) называется точкой перегиба, если на (a,c) и (c,b) кривая y=f(x) имеет разные направления выпуклости ((a,b) - достаточно малая окрестность точки c). Т2. (Необходимое условие перегиба). Если кривая y=f(x) имеет перегиб в точке (c, f(c)) и функция y=f(x) имеет в точке c непрерывную вторую производную, то f??(c)=0. Замечание1. Необходимое условие перегиба не является достаточным. Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать. Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) имеет вторую производную на c?(a,b), f??(c)=0. Если f??(x) имеет на (a,c), (c,b) разные знаки, то (c, f(c)) - точка перегиба графика f(x). Т4. (Второе условие перегиба). Если y=f(x) имеет в точке конечную третью производную и f??(c)=0, а f???(c)?0, тогда (c, f(c)) - точка перегиба графика f(x). 4.
    *1. ............