Математические строи
    § 1. Математическим строем называется совокупность частотных отношений между звуками в музыкальной системе. Введение в музыкальную практику многоголосных инструментов с фиксированной частотой звуков (орган и др.) заставило композиторов и исполнителей заинтересоваться количественной стороной музыкальных систем. К этому времени в науке был известен целый ряд звуковых строев, разработанных китайскими, персидскими, индийскими, арабскими и греческими учеными, в основе которых лежали самые разнообразные математические принципы отбора звуков и которые пытались объяснить соотношения между звуками в произведениях народного музыкального творчества.
    Мы считаем излишним останавливаться на рассмотрении китайских, персидских, арабских и индийских звуковых строев, так как эти строи не оказали непосредственного влияния на европейскую музыку, а начнем с изучения строя, разработанного древнегреческими учеными и известного под именем "строя Пифагора".
    Древнегреческим ученым было известно, что на монохорде[2] можно получить звуки не только путем возбуждения целой струны, но и ее частей: 1/2, 2/3 и 3/4, и что звуки, полученные путем возбуждения указанных частей струны, образуют с ее основным тоном интервалы октавы - 1/2 струны, квинты - 2/3 струны и кварты - 3/4 струны (по современной терминологии).
    Эти интервалы, найденные опытным путем и получившие, по преданию, применение при настройке лиры Орфея, стали основными интервалами пифагорова строя. Остальные интервалы этого строя были найдены последователями Пифагора посредством вычислений. Трудно сказать, какие причины заставили указанных ученых отказаться от дальнейших делений струны на части в целях получения новых интервалов, известно лишь, что формирование пифагорова строя осуществлялось не опытным, а математическим путем. Этот путь был основан на следующих соображениях: так как 2/3 целой струны дают звук квинтой выше ее основного тона, а 3/4 целой струны - звук квартой выше того же тона, то 2/3 любой части струны должны дать звук квинтой выше этой части, а 3/4 любой части струны - звук квартой выше этой части.
    Таким образом, если основной тон струны есть с и если взять 2/3 от 2/3 струны, т. е. 4/9 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет d1. Этот звук находится за пределами октавы с - с1. Взявши вместо его d, мы найдем, что последнему звуку соответствует 8/9 струны[3].
    Если взять 2/3 от 8/9 струны, т. е. 16/27 струны, то звук, соответствующий той части струны, будет а.
    Если взять 2/3 от 16/27 струны, т. е. 32/81 струны, то звук,, соответствующий этой части струны, будет е1. Этот звук находится за пределами октавы с - с1. Взявши вместо него е, мы найдем, что последнему звуку соответствует 64/81 струны.
    Если взять 2/3 от 64/81 струны, т. е. 128/243 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет h. Если расположить все найденные нами звуки в порядке их высоты и подписать под ними соответствующие части струны, то мы получим диатоническую мажорную гамму пифагоровой настройки, в которой частотные отношения между звуками выражены в долях струны:
    с d е f g a h c1
    1 8/9 64/81 3/4 2/3 16/27 128/243 1/2
    Если, исходя из основных интервалов пифагорова строя, двигаться от звука f по чистым квинтам вниз, производя при: этом соответствующие вычисления, то мы получим фригийскую гамму[4], ib которой частотные отношения между звуками выражены в долях струны:
    с des es f g as b cl
    1 243/256 27/32 3/4 2/3 81/128 9/16 1/2
    Двигаясь по чистым квинтам вверх от звука А и по чистым квинтам вниз от звука des и производя соответствующие вычисления, мы придем в первом случае к звуку his, во втором - к звуку deses. ............