Донбаський Державний Технічний Університет

Кафедра фізики і прикладної математики

Контрольна робота з математики

«Лінійна балансова модель і її використання в економічних розрахунках»

Балансова модель

Вивчення балансових моделей, що є один з найважливіших напрямів і економіко-математичних досліджень, повинне служити об'єктом вивчення окремої дисципліни. Наша мета – проілюструвати на прикладі балансових розрахунків застосування основних понять лінійної алгебри.

Лінійна балансова модель

Хай розглядається економічна система, що складається з n взаємозв'язаних галузей виробництва. Продукція кожної галузі частково йде на зовнішнє споживання (кінцевий продукт), а частково використовується як сировина, напівфабрикати або інші засоби виробництва в інших галузях, у тому числі і в даній. Цю частину продукції називають виробничим споживанням. Тому кожна з даних галузей виступає і як виробник продукції (перший стовпець таблиці 1) і як її споживач (перший рядок таблиці 1).

Позначимо через xi валовий випуск продукції i-й галузі за планований період і через yi – кінцевий продукт, що йде на зовнішнє для даної системи споживання (засоби виробництва інших економічних систем, споживання населення, утворення запасів і так далі).

Таким чином, різниця xi – yi складає частину продукції i-й галузі, призначену для внутрішньовиробничого споживання. Надалі вважатимемо, що баланс складається не в натуральному, а у вартісному розрізі.

Позначимо через xik частину продукції i-й галузі, яка споживається к-й галуззю, для забезпечення випуску її продукції у розмірі хk.

Одне із завдань балансових досліджень полягає в тому, щоб на базі даних об виконання балансу за попередній період визначити початкові дані на планований період.

Забезпечуватимемо штрихом (х’ik, y’i і так далі) дані, що відносяться до минулого періоду, а тими ж буквами, але без штриха – аналогічні дані, пов'язані з планованим періодом. Балансова рівність (1) повинна виконуватися як в минулому, так і в планованому періоді.

Називатимемо сукупність значень y1, y2., yn, що характеризують випуск кінцевого продукту, асортиментним вектором:

_

у = (у1, у2., yn), (2)

а сукупність значень x1, x2., xn, определяющих валовий випуск всіх галузей – вектор-планом:

_

x = (x1, x2., xn). (3)

Залежність між двома цими векторами визначається балансовою рівністю (1). Проте вони не дають можливості визначити по заданому, наприклад, вектор у необхідний для його забезпечення вектор-план х, оскільки окрім шуканих невідомих хk, містять n2 невідомих xik, які у свою чергу залежать від xk.

Тому перетворимо цю рівність. Розрахуємо величини aik із співвідношень:

xik

aik = – (i, до = 1, 2., n).

xk

Величини aik називаються коефіцієнтами прямих витрат або технологічними коефіцієнтами. Вони визначають витрати продукций i-й галузі, використовувані к-й галуззю на виготовлення її продукції, і залежать головним чином від технології виробництва в цій к-й галузі. З деяким наближенням можна вважати, що коефіцієнти aik постійні в деякому проміжку часу, що охоплює як минулий, так і планований період, тобто, що

x’ik xik

– = – = aik = const (4)

x’k xk

Виходячи з цього пропозиції маємо

xik = aikxk (5)

тобто витрати i-й галузі в к-ю галузь пропорційні її валовому випуску, або, іншими словами, залежать лінійно від валового випуску xk. ............