Линейные уравнения и неравенства Романишина Дина Соломоновна, учитель математики гимназии №2 г. Хабаровска 1. Уравнения с одной переменной.
    Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)?4х-1.
    Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+5?8х-1. Уравнение х2+1?0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) ?0 имеет два корня: х1? -3, х2?4.
    Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
    Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8?2 и х+10?20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х?10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.
    При решении уравнений используются следующие свойства:
    Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.
    Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
    Уравнение ах?b, где х - переменная, а и b - некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
    Если а?0, то уравнение имеет единственное решение .
    Если а?0, b?0, то уравнению удовлетворяет любое значение х.
    Если а?0, b?0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0х?b не выполняется ни при одном значении переменной.
    
    Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+40?3(5х-4)
    Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:
    16х-15х?88-40-12
    х?36
    Ответ: 36.
    Пример 2. Решить уравнения:
    3х2-5х?0;
    х3-2х2-98х+18?0;
    х2+7х+12?0.
    Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.
    3х2-5х?0; х(3х-5)?0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х1?0; х2?.
    Ответ: 0; .
    Разложить на множители левую часть уравнения:
    х2(х-2)-9(х-2)?(х-2)(х2-9)?(х-2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)?0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х1?2, х2=3, х3?-3.
    с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+12?0, х(х+3)+4(х+3)?0, (х+3)(х+4)?0, отсюда х1?-3, х2?- 4.
    Ответ: -3; - 4.
    
    Пример 3. Решить уравнение: ?х+1?+?х-1?=3.
    Напомним определение модуля числа:
    Например: ?3??3, ?0??0, ?- 4?? 4.
    В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем -1, то число х+1 отрицательное, тогда ?х+1??-х-1. А если х>-1, то ?х+1??х+1. При х?-1 ?х+1??0.
    Таким образом,
    Аналогично
    а) Рассмотрим данное уравнение?х+1?+?х-1??3 при х?-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+1?3, -2х=3, х?, это число принадлежит множеству х?-1.
    b) Пусть -1 ? х ? 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1?3, 2?3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
    с) Рассмотрим случай х>1.
    х+1+х-1?3, 2х?3, х?. ............