Часть 1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Дано: Для схемы: U0(t)= U0=const U0=5 В i0(t)=I0?1(t) I0=2 A 1.1 Составить уравнения состояния для цепи при t?0. Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С1 и С4. Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа: (1) Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния: (2) Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad: Таким образом, уравнения состояния будут иметь вид: 1.2 Найти точные решения уравнений состояния. Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния: Общий вид точных решений уравнений состояния: Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом: Начальные условия (находятся из схемы): Для нахождения постоянных интегрирования A1, A2, A3, A4 требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации.
    При t=0: Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния: Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния: При t=0: Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их: Точные решения уравнений состояния: 1.2 Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов. Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера: Подставляя выражения производных из уравнений состояния: h - шаг расчета =2*10-6 с. i=1...100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий. 1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния.(второй способ) e(A)t = a0 + a1(A) e(A)t= (X) = [e(A)t-1][A]-1[B][V] 1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния. Часть 2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии. Анализу подлежит следующая цепь: Параметры импульса: Um=10 В tu=6*10-5 c Форма импульса: 2.1 Определить функцию передачи: воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u(t)=1(t), его Лапласово изображение U0(s)=1/s. Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые: Решаем эту систему: Таким образом: Функция передачи: 2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.Полюсы: Нули: Плоскость комплексной частоты: 2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения. Импульсная характеристика: Выделим постоянную часть в HU(s): Числитель получившейся дроби: Упрощенное выражение HU(s): Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. ............