Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ Контрольная работа по дисциплине "Прикладная математика" Специальность Бухгалтерский учет и аудит Курс 2-й Группа БуиА-6-99/2 Студент Студенческий билет № ВАРИАНТ №25 Адрес " " мая 2001г. Проверил: ____________________/ / "___"_______________2001г. Москва 2001г. Задача №1. Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли 4 0 8 7 316
    А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29) 5 6 3 2 199 Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль
    z=31х1+10х2+41х3+29х4
     Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу
    4х1+0х2+8х3+7х4?316 Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу 3х1+2х2+5х3+х4?216 Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу 5х1+6х2+3х3+2х4?199 Имеем 4х1+0х2+8х3+7х4?316 3х1+2х2+5х3+х4?216 (1) 5х1+6х2+3х3+2х4?199 где по смыслу задачи
    х1?0, х2?0, х3?0, х4?0. (2) Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений
    4х1+0х2+8х3+7х4+х5=316 (I)
    3х1+2х2+5х3+ х4+х6=216 (II) (3) 5х1+6х2+3х3+2х4+х7=199 (III) где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно х5 - остаток сырья 1-го вида,
    х6 - остаток сырья 2-го вида,
    х7 - остаток сырья 3-го вида. Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности х1?0, х2?0, х3?0, х4?0, х5?0, х6?0, х7?0 (4) надо найти то решение, при котором функция
    z=31х1+10х2+41х3+29х4 будет иметь наибольшее значение Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода. Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса. Найдем ведущее уравнение: bi 316 216 199 316 min ------- = ----- ----- ----- = ----- ai3>0 8 5 3 8 Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом: С Базис Н 31 10 41 29 0 0 0 Поясне-ния х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 0 х5 316 4 0 8 7 1 0 0 0 х6 216 3 2 5 1 0 1 0 0 х7 199 5 6 3 2 0 0 1 ? z0-z 0-z -31 -10 -41 -29 0 0 0 41 х3 39,5 1/2 0 1 7/8 1/8 0 0 0 х6 18,5 1/2 2 0 -27/8 -5/8 1 0 0 х7 80,5 7/2 6 0 -5/8 -3/8 0 1 ? z0-z 1619,5 -21/2 -10 0 55/8 41/8 0 0 41 х3 28 0 -6/7 1 54/56 10/56 0 -1/7 Все ?j?0 0 х6 7 0 8/7 0 -23/7 -4/7 1 -1/7 31 х1 23 1 12/7 0 -10/56 -6/56 0 2/7 ? z0-z 1861 0 8 0 5 4 0 3 Оптимальная производственная программа:
    х1=23, х2=0, х3=28, х4=0 Остатки ресурсов: Первого вида - х5=0; Второго вида - х6=7; Третьего вида - х7=0 Максимальная прибыль zmax=1861 Обращенный базис Q-1 10/56 0 -1/7 Q-1= -4/7 1 -1/7 -6/56 0 2/7 х5 х6 х7 Базис Q 8 0 4 Q= 5 1 3 3 0 5 х3 х6 х1 Самопроверка. 10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0 Q-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0 -6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1 10/56•316+0•216-1/7•199 28 Q-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7 -6/56•316+0•216+2/7•199 23 Задача №2. Двойственная задача. Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурса у2 за каждую единицу 2-го ресурса у3 за каждую единицу 3-го ресурса. В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид 4 0 8 7 316
    А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29) 5 6 3 2 199 для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида. В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят 4у1+3у2+5у3?31 Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида 2у2+6у3?10 Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида 8у1+5у2+3у3?41 Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида 7у1+у2+2у3?29 Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 316у1+216у2+199у3 Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок У=(у1, у2, у3) Минимизирующий общую оценку всех ресурсов f=316у1+216у2+199у3 при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции: 4у1+3у2+5у3?31 2у2+6у3?10 8у1+5у2+3у3?41 7у1+у2+2у3?29 При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными у1?0, у2?0, у3?0 На основании 2-й основной теоремы двойственности Х=(х1, х2, х3, х4) и у=(у1, у2, у3) Необходимо и достаточно выполнения условий х1(4у1+3у2+5у3-31)=0 х2(2у2+6у3-10)=0 х3(8у1+5у2+3у3-41)=0 х4(7у1+у2+2у3-29)=0 Учитывая, что в решении исходной задачи х1>0, x3>0 Поэтому
    4у1+3у2+5у3-31=0 8у1+5у2+3у3-41=0 Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2=0 Имеем систему уравнений
    4у1+3у2+5у3-31=0 8у1+5у2+3у3-41=0 Решим систему: 4у1+5у3=31 у1=(31-5у3)/4 8((31-5у3)/4)+3у3=41 -7у3=-21 у1=(31-15)/4 откуда следует у1=4, у3=3 Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у1=4, у2=0, у3=3 Общая оценка всех ресурсов
    f=316у1+216у2+199у3 f=1264+0+597=1861 Задача №2.1. ............