Оглавление

Предисловие...................................................................................... 3

Введение............................................................................................. 4

§1. Композиции движений пространства.......................................... 4

1.1.        Основные композиции движений пространства........... 4

1.2.        Композиции центральных симметрий пространства.... 9

1.3.       Композиция зеркальной и центральной

симметрий пространства................................................ 11

1.4.        Композиции осевых симметрий пространства.............. 12

1.5.       Применение композиций движений

пространства к решению задач...................................... 16

§2. Композиции подобий и аффинных преобразований

пространства .............................................................................. 18     

Литература........................................................................................ 22

Предисловие

 

Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3]. 

В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.

 

Введение

 

Пусть f и g – два преобразования множества X такие, что f(x)=y, g(y)=z для произвольного xÎX, конечно, yÎX и zÎX. Отображение j определим законом j(x)=g(f(x)). Тогда отображение j является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований f и g. В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: j= g◦f.    

Композиции преобразований обладают следующими свойствами:

1°. Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f, g, h данного множества имеет место равенство:

                      h◦(g◦f)=(h◦g)◦f.

2°. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.

В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.  

 

§1. Композиции движений пространства

 

1.1.           Основные композиции движений пространства

Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.

Задача 1. Найти композицию поворота Rlj  и переноса   пространства при условии, что вектор  и ось поворота l не параллельны.

Решение. ............