Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП , ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-43 МОКЕЕВА О. А.
Научный руководитель:
доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2008
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Некоторые базисные леммы
2 Критерий принадлежности факторизуемой группы
классическим классам конечных групп
3 Сверхрадикальные формации
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
--- множество всех натуральных чисел;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых чисел, т. е. ;
---
дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число --- любое число вида .
Буквами обозначаются простые числа.
Пусть --- группа. Тогда:
--- порядок группы ;
---
множество всех простых делителей порядка группы ;
-группа --- группа , для которой ;
-группа --- группа , для которой ;
--- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
--- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
--- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
--- -холлова подгруппа группы ;
--- силовская -подгруппа группы ;
--- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ;
--- нильпотентная длина группы ;
--- -длина группы ;
--- минимальное число порождающих элементов группы ;
--- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;
--- циклическая группа порядка .
Если и --- подгруппы группы , то :
--- является подгруппой группы ;
--- является собственной подгруппой группы ;
--- является нормальной подгруппой группы ;
--
- ядро подгруппы в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с в ;
--- нормальное замыкание подгруппы в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами группы ;
--- индекс подгруппы в группе ;
;
--- нормализатор подгруппы в группе ;
--- централизатор подгруппы в группе ;
--- взаимный коммутант подгрупп и ;
--- подгруппа, порожденная подгруппами и .
Минимальная нормальная подгруппа группы --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;
--- является максимальной подгруппой группы .
Если и --- подгруппы группы , то:
--- прямое произведение подгрупп и ;
--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
--- и изоморфны;
--- регулярное сплетение подгрупп и .
Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой, если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.
-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.
-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп называется:
субнормальным, если для любого ;
нормальным, если для любого ;
главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .
Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.
-группа --- группа, принадлежащая классу групп .
Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если --- класс групп, то:
--- множество всех простых делителей порядков всех групп из ;
--- множество всех тех простых чисел , для которых ;
--- формация, порожденная классом ;
--- насыщенная формация, порожденная классом ;
--- класс всех групп , представимых в виде
где , ;
;
--- класс всех минимальных не -групп, т. ............
