МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Курсовая работа

"Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков"

Гомель 2003

Содержание

Введение

1. Построение двумерной стационарной системы

1.1 Построение двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка

1.2 Построение двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в видекривых первого и второго порядков

2. Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование одной системы первого класса построенных двумерных стационарных систем

2.2 Исследование одной системы второго класса построенных двумерных стационарных систем

Заключение

Список использованных источников

Приложение

Введение

Как известно, многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, то есть:

Но в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Большинство дифференциальных уравнений второго порядка возможно привести к системе дифференциальных уравнений вида:

 (1)

положив , и следовательно, .

Рассмотрение такой системы в ряде аспектов удобнее, чем непосредственное рассмотрение уравнений.

Часто рассматривается тот частный случай системы, когда независимая переменная t в правые части не входит, то есть система имеет вид:

                                      (2)

Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения

           (3)

объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая систем двух дифференциальных уравнений (2) с полной отчётливостью была поставлена А. Пуанкаре [1] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [2, с. 191–211] и уточнены Дж.Д. Бирксоном [3].

Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н.П. Еругина [4, c. 659], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.

Знание одного частного интеграла системы (0.2) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. ............