Министерство Образования РФ
НГТУ
Кафедра экономической информатики
Курсовая работа по курсу «Численные методы в экономике»: Исследование неявного метода Эйлера для линейной системы
ОДУ с постоянным и переменным шагом
Введение
Целью данного проекта является исследование неявного метода Эйлера для решения линейных систем ОДУ с постоянным и переменным шагом. В ходе работы будет создана программа на языке матрично-ориентированной системы Mat LAB и приведена математическая интерпретация метода. Также будет представлено влияние величины шага интегрирования и начальных значений на качество и точность вычислений. Будут проанализированы результаты и сделаны выводы.
1. Постановка задачи. Математическое описание метода Для линейных систем
( Х = АХ+ВU(t) )
эта проблема решается очень просто. Нелинейные системы приходится линеаризовать в точке Xm, tm, затем уже решать приведенным ниже способом:
Все значения в этой формуле, кроме Xm+1, которое нужно найти, известны (I – единичная матрица). Это получается линейная система, которая решается стандартными методами.
Неявный метод Эйлера: Группа неявных методов Рунге-Кутта используется для интегрирования "жестких" систем. Неявный метод Эйлера (Рунге-Кутта 1-го порядка) описывается с помощью следующей формулы:
Xm+1 = Xm+hmF(Xm+1, tm+1)
Как уже говорилось ранее, чтобы определить Xm+1 надо решить данную систему. При известных значениях величин Xm, hm, tm+1- это система нелинейных уравнений относительно Xm+1. Ее необходимо решать на каждом шаге по времени m.
Для линейных систем
( Х = АХ+ВU(t) )
эта проблема решается очень просто. Нелинейные системы приходится линеаризовать в точке Xm, tm, затем уже решать приведенным ниже способом:
Все значения в этой формуле, кроме Xm+1, которое нужно найти, известны (I – единичная матрица). Это получается линейная система, которая решается стандартными методами.
Рассмотрим характеристики метода.
1.Точность. Ошибка аппроксимации по величине равна ошибке аппроксимации явного метода Эйлера, но она противоположна по знаку:
iam = -0.5h2mX..(t-)
где hm<= t-<= tm+1
2. Устойчивость метода
Сделав линеаризацию функции F(X,t) в точке Xm, hm, tm+1 получим уравнение относительно ym+1
Ym+1 = ym+hym+1
Характеристического уравнение r-hlr-1=0 "дает" корень r=1/(1-hl).
1. Условие абсолютной устойчивости (Re(hl)<0): |1/(1-hl)|<1 или по другому
|1-hl|>1. Последнее неравенство можно преобразовать к виду:
[1-Re(h)]2 + Im((h)]2>1
С учетом того, что мы рассматриваем ситуацию, когда Re(hl)<0, область абсолютной устойчивости, как следует из неравенства [1-Re(h)]2 + Im((h)]2>1 - вся левая полуплоскость.
2. Условия относительной устойчивости
(Re(hl)>0): |1/(1-hl)|>1.
С учетом ограничения на скорость изменения приближенного решения относительного точного:
|1/(1-hl)|<|ehl|
Из этого соотношения следует, что при |hl|®1 левая часть стремится к бесконечности. Это значит, что в правой полуплоскости имеется некоторая область, где неравенство
|1/(1-hl)|<|ehl| не выполняется.
3. Выбор шага
4. Условия выбора шага диктуются требованиями абсолютной или относительной устойчивости. ............
