Исследование некоторых задач в алгебрах и пространствах программ Казиев В.М.
    Рассмотрим пару алгебр (A,B): алгебру X= событий - алгоритмических процедур (программ) заданную над алфавитом X={x1,x2,...,xn} и В-трехзначную алгебру логики (0,1,2 - неопределенность). В алгебре А определим двухместные операции конъюнкции и условной дизъюнкции и одноместную операцию итерации следующим образом: конъюнкция s1& s2 событий s1, s2 состоит из всех слов вида pq, pI s1, qI s2; a - дизъюнкция a (s1+s2) совпадает с s1(s2), если условие a истинно (ложно); итерация с постусловием {s}a состоит из пустого события s0=e и всевозможных слов вида p1p2...pk т.е., {s}a =sm, где sm - последний из степеней s, для которого условие a выполнено; итерация с предусловием a {s} определяется аналогично. В алгебре А задается событие называемое неопределенным и обозначаемое символом ? . Элементарные события в А - события е, x1, x2,..., xn. Аксиомы алгебры А ниже рассмотрены. Все аксиомы алгебры B и правила вывода в ней сохраняются. Правила вывода, используемые в алгебре А включают правила вывода, принятые в программировании - см., например, [1]. Событие, получаемое применением конечного числа операций алгебры А над элементарными, называется регулярным.
    Имеет место важная теорема Клини [2]: регулярные события и только они представимы в конечных автоматах.
    Рассмотрим задачу построения алгоритма регуляризации во введенной паре алгебр (А,B). Алгоритм в укрупненных шагах состоит в следующем.
    Шаг 1. Задается произвольное событие s=s0 s1 s2...sn+1, где si - событие номер i, начальное событие - s0, конечное - sn+1, остальные события - преобразователи и/или события - распознаватели.
    Шаг 2. Составляется система уравнений алгебры событий А: записывается функция F события, его дерево D и дерево состояний определяющее все к путей выполнения :, где Fi - функция ветви дерева состояний. Функция ветви дерева - композиция всех функций (событий) данной ветви; программная функция F - объединение всех функций ветвей дерева.
    Шаг 3. Система уравнений с помощью подстановок и операций дизъюнкции и конъюнкции представляется в виде : X=XA+B, где X - событие, представленное заключительным состоянием sn+1,.
    Шаг 4. Находим решение системы. Используется теорема [3]: если характеристический граф матрицы А (орграф соединяющий ребрами вершины i и j только тогда, когда eI aij) не содержит ни одного цикла, то система X=XA+B имеет единственное решение X=B{A}, которое регулярно при регулярных A, B. При решении системы эффективно преобразовывать уравнения, - как и при решении линейных алгебраических уравнений, например, брать дизъюнкцию событий, изменять порядок исключения событий и др.
    Шаг 5. По условиям выполнимости событий находим регулярную форму этого решения. Используются аксиомы алгебры логики В и соотношения алгебры событий А, например, следующие (AB=A& B, a b = a & b , a (A) - условие выполнимости события А, Aa - проверка условия a после события А и для этого условия верны все аксиомы алгебры В, - отрицание условия a ):
    Ae=eA=A,
    ea =a (e)=a ,
    A? =? A=? ,
    2(A+B)=? ,
    a (b (A))=b ,
    A(BC)=(AB)C,
    b (A+B)=(a (A)+ (B)),
    a (b (A+B))=(b a (A))+( (B)),
    a (A+B)C=a (AC+BC),
    Aa (B+C)=a (AB+AC),
    a (AB)=a (A)Ba (B),
    (AB)a =A(Ba ),
    A{B}a ={BAa }A,
    a ({A}b )={Ab }b ,
    {A}a =a (e+A{A}a ),
    {a (A)} (B)={A}B,
    a {A}a {A}=a {A},
    {a a {A}}=a {A},
    {A}a {A}a ={A}a ,
    {{A}a a }={A}a ,
    {a (A)}={A} ,
    {A}a +e=a {A},
    Aa {A}=a {A}A={A}a .
    Пример 1. ............