Кафедра высшей математики

Курсовая работа

по линейной алгебре и аналитической геометрии

на тему:

Исследование кривых и поверхностей второго порядка

Дубна, 2002

Оглавление

 

ВВЕДЕНИЕ

ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Теоретическая часть

Практическая часть

ВЫВОД

ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Теоретическая часть

Практическая часть

ВЫВОД

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение

 

Цель

1.         Целью данной курсовой работы является исследование кривой и формы поверхности второго порядка. Закрепление полученных теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.

2. Ознакомление с пакетами программ Microsoft® Word и Microsoft® Excel.

 

Постановка задачи

I. Для данного уравнения кривой второго порядка:

1.         Определить тип данной кривой с помощью инвариантов.

2.         Привести уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

3.         Найти фокусы, директрисы и ассимптоты данной кривой (если они есть).

4.         Построить каноническую систему координат и данную кривую в общей системе координат.

II. Для данного канонического уравнения поверхности второго порядка:

1.      Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях;

2.       Построить поверхность в канонической системе координат.

Исследование кривой второго порядка   Теоретическая часть

Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат xOy уравнением:

.                    (1.1)

Если хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.

Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка Г существует такая декартова прямоугольная система координат XO¢Y, что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:

1) , а ³ b > 0         — эллипс,

2)                — мнимый эллипс,

3)                 — две мнимые пересекающиеся прямые

 (точка),

4)                           — гипербола,

5)                           — две пересекающиеся прямые,

6)                     — парабола,

7)                        — две параллельные прямые,

8)             — две мнимые параллельные прямые,

9)                                  — две совпадающие прямые.

В этих уравнениях a, b, p — положительные параметры.

Систему координат XO¢Y назовем канонической системой координат, а систему координат xOy — общей системой координат.

Классификация кривых второго порядка

В зависимости от значения инварианта  принята следующая классификация кривых второго порядка:

·          если   кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.

·          если   кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.

·          если   кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.

Кривая второго порядка Г называется центральной, если . ............