Задача 1.
Определить центр тяжести сечения.
Решение
Укажем оси координат X и Y с началом в нижнем левом углу сечения.
Сечение разобьем на два простых сечения – прямоугольник 1 с центром тяжести С1 и квадрат 2 с центром тяжести С2.
Координаты центра тяжести С сечения находим по формулам:
и , где
x1 = 15 мм - координата центра тяжести С1 прямоугольника по оси Х;
y1 = 30 мм - координата центра тяжести С1 прямоугольника по оси Y;
x2 = 45 мм - координата центра тяжести С2 квадрата по оси Х;
y2 = 15 мм - координата центра тяжести С2 квадрата по оси Y;
F1 = = 1800 мм2 - площадь прямоугольника;
F2 = = 900 мм2 - площадь квадрата.
Тогда
мм, мм.
Задача 2.
К стальному валу приложены три известных момента М1, М2, М3. Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м).
Для стали принять G = МПа. Полярный момент инерции м4
a = 1,9 м, b = 1,2 м, c = 1,4 м,
М1 = 1900 Нм, М2 = 1200 Нм,
М3 = 1700 Нм, [τ] = 75 МПа.
Решение.
1) Угол поворота правого концевого сечения определяется как алгебраическая сумма взаимных углов поворота сечений на участках АВ, BC, CD, DE
.
Отсюда определим момент X
Х = 1178,125 Нм
2) Строим эпюру крутящих моментов MК (см. рис а)
Определяем опорные реакции. Отбросив опору (в данном случае защемление), заменим ее возможными реакциями. Т. к. все активные силы представляют собой крутящие моменты, то в опоре возникает только одно воздействие крутящий момент МЕ, который определим из уравнения равновесия:
; МЕ – 1900 + 1200 – 1700 + 1178,125 = 0
МЕ = 1900 – 1200 + 1700 – 1178,125 = 1221,875 Нм
При построении эпюры крутящих моментов МК применяем метод сечений дл каждого из четырех участков.
Для участка DE:
; Нм
Для участка CD:
; Нм
Для участка ВС:
; Нм
Для участка АВ:
; Нм
3) Определяем диаметр вала
Из эпюры максимальный МК = 1221,875 Нм на участке DE. На этом участке возникает максимальное касательное напряжение , где WP – момент сопротивления сечения
Приравнивая τ [τ], определим диаметр вала
0,043 м или 43 мм,
Согласно условиям задачи принимаем d = 45 мм.
4) Строим эпюру углов закручивания (см. рис. в) для всех участков по формуле
.
Выбираем начало координат в точке Е.
Участок DE:
Угол поворота сечения, взятого на расстоянии z от неподвижного сечения Е, будет
, где ;
при z = 0 φ = 0;
при z = a = 1,9 м
= – 0,071 рад.
Участок CD:
, где
при z = а = 1,9 м φ = – 0,071 рад;
при z = (a + b) = 3,1 м = – 0,046 рад.
Участок BC:
, где
при z = (а + b) = 3,1 м φ = – 0,046 рад;
при z = (a + b +c) = 4,5 м = – 0,068 рад.
Участок AB:
, где
при z = (а + b + c) = 4,5 м φ = – 0,068 рад;
при z = (2a + b + c) = 6,4 м = 0 рад.
5) Наибольший относительный угол закручивания будет на участке DE
== 0,037 рад/м
Задача 3.
Для поперечного сечения, составленного из стандартных прокатных профилей, требуется:
1) определить положение центра тяжести;
2) найти значения осевых и центробежных моментов инерции относительно горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через центр тяжести сечения;
3) определить направления главных центральных осей инерции;
4) найти значения моментов инерции относительно главных центральных осей;
5) вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все оси и размеры.
Схема сечения состоит из двух прокатных профилей:
профиля I - швеллера № 30,
профиля II - двутавра № 33.
Решение.
Геометрические характеристики швеллера берем по ГОСТ 8240-72:
hI = 300 мм, bI = 100 мм, dI = 6,5 мм, tI = 11 мм,
см4, см4, А1 = 40,5 см2, z0 = 2,52 см.
Геометрические характеристики двутавра берем по ГОСТ 8239-72:
hII = 330 мм, bII = 140 мм, dII = 7 мм, tII = 11,2 мм,
см4, см4, А2 = 53,8 см2.
Выбираем вспомогательные оси V, Z и определяем относительно их координаты центра тяжести составного сечения
19,7 см;
13,4 см.
Вспомогательные центральные оси XC и YC параллельны осям V и Z.
Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции относительно этих осей. ............
