Задача 1

Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти:

сортом А в количестве 10 единиц,

сортом В — 15 единиц.

При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут (М).

Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М

II:2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М

III:2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М

Цена бензина — 10 долл. за единицу, мазута — 1 долл. за единицу.

Определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Решение

"выгодность" -- получение максимального дохода от реализации продукции

"выбор (принятие) решения" состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить.

Обозначим неизвестные величины:

хi—количество использования i-го технологического процесса (i=1,2,3).

Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.

Для вектора х=(х1,х2,х3),

выручка завода равна (32х1+15х2 +12х3) долл.

Здесь 32 долл. — это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.).

Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего процессов.

Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А:

для сорта В:,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 — это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно.

Математическая модель

Найти такой вектор х = (х1,х2,х3), чтобы

максимизировать f(x) =32х1+15х2 +12х3

при выполнении условий:

.

Сокращенная запись:

Получили задачу линейного программирования.

Модель (1.4.2.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

На дом

Пример. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

Обозначим известные параметры задачи:

n — число разновидностей ценных бумаг;

аj — фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги

j — ожидаемая прибыль от j-го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины:

yj — средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.

По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как

Для упрощения модели введем новые величины

Таким образом, хi — это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида j.

Ясно, что

Из условия задачи видно, что цель инвестора — достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском.

Содержательно риск — это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией.

прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. ............