Введение

 

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые преобразуются в прямые, а окружности – в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего, относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей.

Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственных построений, носящих частный характер.

Кроме указанных приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной геометрии и так называемой высшей геометрии.

В данной работе и рассматривается преобразование, называемое инверсией. Применение преобразования инверсии при решении задач на построение и доказательство позволяет решить ряд задач, которые трудно решить с помощью других методов решения подобных задач.

Впервые стали изучать это преобразование в 30-х годах прошлого века.

Способ решения задач, который рассматривается в данной работе, называется методом инверсии, или методом обратных радиусов, или методом обращения.

Этот метод является мощнейшим среди методов решения задач на построение, которые могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника, ведь ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение.

Дана дипломная работа посвящена преобразованию инверсии и ее применению в решении задач на построение. Для удобства изложения материал разбит на две главы.

В первой главе подробно изучается преобразование инверсии: рассматриваются основные свойства инверсии. Во второй главе рассматривается применение инверсии к решению задач на построение, отдельно рассматривается задача Аполлония и вспомогательные задачи, применяемые к решению этой задачи.

В конце второй главы в работе представлено приложение, в котором предложено решение некоторых задач, решаемых с помощью инверсии.

Работа включает в себя также введение, заключение и список используемой литературы.

1. Инверсия как преобразование плоскости

1.1 Определение инверсии. Построение инверсных точек.

Пусть на плоскости дана некоторая окружность щ (О, R) (рис. 1)

Рис. 1

Пусть, далее, Р – произвольная точка плоскости, отличная от точки О. Сопоставим ей точку Рґ, которая удовлетворяла бы двум условиям:

1)                 точка Рґ лежит на луче ОР;

2)                 ОР ОРґ = R2.

Такую точку Рґ мы называем инверсной или обратной точке Р относительно окружности щ. Окружность щ называется базисной окружностью инверсии, ее центр – центром инверсии, а радиус – радиусом инверсии.

Преобразование, при котором каждой точке некоторой фигуры ставится в соответствие инверсная ей точка, называется инверсией, а фигура, образованная всеми точками, инверсными точками данной фигуры, называется инверсной по отношению к данной фигуре.

Обратим внимание на то, что при R = 1 ОРґ= 1/ОР, так что ели точка Р инверсна точке Рґ, то расстояния ОР и ОРґ являются взаимно обратными числами. ............