Вопрос 1.
1. Основные понятия
1. Сигнал любой формы можно разложить на синусоидальные составляющие с различными частотами, кратными целому числу. Совокупность этих составляющих называется спектром, а сумма этих составляющих формирует значение функции во временной области.
2. Разложение в ряд Фурье – это разложение периодической функции на синусоидальные составляющие с различными частотами. Периодический сигнал s(t) с периодом Т и основной угловой частотой () при помощи коэффициентов Фурье можно представить в виде:
Где и действительные коэффициенты Фурье функции f(t), которые определяются следующим образом:
(k=0,1,2….) (k=0,1,2….)
Если функция s(t) – четная, то , если нечетная. То
3. В отличии от разложения в ряд Фурье с действительными коэффициентами при разложении в ряд Фурье с комплексными коэффициентами вычисления значительно упрощаются. Разложение в комплексный ряд Фурье периодического сигнала s(t) с основной угловой частотой () имеет вид:
(1)
Комплексные коэфффициенты Фурье Сk сигнала s(t) вычисляются следующим образом:
(k=0,1,2….) (2)
Подставив 1.2 в 1.1 , получим:
0<t<T (3)
4. Если увеличивать количество гармоник, то точность приближения функции рядом Фурье повышается.
5. Под непрерывными кусочно-гладкими сигналами будем понимать сигнал, функция которого непрерывна в точке, причем возможно допустить устранимые разрывы первого рода. Область определения функции задается в каждом интервале, но она непрерывна (Пример: Фазоманипулированный сигнал).
Рис. 1. Разложение сигнала
2. Интегральное преобразование Фурье
Дискретное представление сигналов удобно для решения задач обработки сигналов, так как каждый сигнал может быть представлен конечным числом компонентов.
Однако в теоретических исследованиях, особенно при рассмотрении сигналов на бесконечном интервале, с отличной от периодического закона распределения, такое представление либо недостаточно, либо не возможно.
Но гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. При этом число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет бесконечно большим, так как при основная частота функции . Т.о расстояние между спектральными линиями (Рис 2) равное основной частоте становиться бесконечно малы, а спектр – сплошным.
Рис 2.
Поэтому в выражении (1.3) можно заменить на , на текущую частоту а операцию суммирования заменить интегрированием:
(4)
Внутренний интеграл является функцией
(5)
называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой. В общем случае, когда t1 и t2 не уточнены, спектральная плотность записывается в форме:
(6)
Выражение (6) называют прямое преобразование Фурье
Подставляя (6) в (4) получаем
(7)
Выражение (7) называют обратным преобразование Фурье.
3. Интегральное преобразование Лапласа
Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал).
(8)
(9)
Данный спектральный метод, как и преобразование Фурье основан на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых изменяется во времени по закону
Вместо комплексных экспоненциальные сигналов с чисо мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные показатели , где p – комплексное число
, получившее название комплексной частоты.
Изображения по Лапласу во всех точках комплексной плоскости являются аналитическими функциями. ............