Интеграл по комплексной переменной.
    Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.
    Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.
    Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной ?, используя параметрическое задание кривой С зададим ??t??и?? (t), где ??и???являются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть ?0 существует ?>0, что для всех ? из ?-окрестности точки Z0 выполняется | f(?) - f(Z0) | < ?.
    
    
    (8)
    
    
    Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :
    Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :
    
    
    (9)
    
    Это интеграл Коши.
    Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f(?) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре ? , лежащем в области аналитичности функции f(?) и содержащем точку Z0 внутри.
    Очевидно, что если бы функция f(?) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы ? в формуле (9) можно было использовать контур С.
    Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.
    
    Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :
    При Z0 ? Г указанный интеграл не существует.
    
    Интегралы, зависящие от параметра.
     Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования ? и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0. Пусть задана функция двух комплексных переменных ? (Z, ? ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. ?= ?+ i?? ? С. (С - граница G).
    Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция ? (Z, ? ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений ???? С является аналитической в области G. 2) Функция ? (Z, ? ) и ее производная ????? являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и ? при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :
    Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула :
    
    (2)
    
    Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.
    
    ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :
    
    
    (3)
    
    С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. ............