Теоретические вопросы 1. Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.
    Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f'(x) или дифференциала df=f'(x)dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F'(х)=f(x) или dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.. Определение. Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx. Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x). Теорема. Если F1(x) и F2(x) - две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1x)+C, где С - постоянная. 2. Неопределенный интеграл, его свойства.
    Определение. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается: - (1)
    В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) - подынтегральной функцией, х - переменной интегрирования, а С - постоянной интегрирования.
    Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.
    1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: и .
    2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
    3. Постоянный множитель а (а?0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
    4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
    5. Если F(x) - первообразная функции f(x), то:
    6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной: где u - дифференцируемая функция. 3. Таблица неопределенных интегралов. Приведем основные правила интегрирования функций. I. II. III. IV. V. VI. Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной (u=u(x)).) 1. (n?-1). 2. (a >0, a?1). 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. (a?0). 15. (a?0). 16. (|u| > |a|). 17. (|u| < |a|). 18. 19. Интегралы 1 - 17 называют табличными. Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей. 4. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
    Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=?(t), откуда dx=?'(t)dt.
    Теорема. ............