Введение Цель работы Реализовать графический метод решения задач линейного программирования.
1. Теоретические сведения
Наиболее простым и наглядным методом линейного программирования (ЛП) является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными.
Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме записи:
Положим n=2, т.е. рассмотрим эту задачу на плоскости. Пусть система неравенств совместна (имеет хотя бы одно решение).
Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой ai1 x1 + ai2 x2 = bi, i=1,2,… m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости, соответственно, с граничными прямыми x1=0, x2 =0. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью.
Таким образом, геометрически задача линейного программирования (ЗЛП) представляет собой отыскание такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют линейной функции цели максимальное (минимальное) значение, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.
Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости. Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х1+3х2£ 12. Во-первых, построим прямую 2х1+3х2=12. Эта прямая проходит через точки (6, 0) и (0, 4). Для того чтобы определить, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству необходимо выбрать любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Удобной для использования при подстановке в неравенство является начало координат. Подставим х1=х2=0 в неравенство 2х1+3х2£12. Получим 2´0+3´0£12. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству 2х1+3х2£12 соответствует нижняя полуплоскость, содержащая точку (0.0). Это отражено на графике, изображенном на. 1.
Рис. 1. Неравенству 2х1+3х2£12 соответствует нижняя полуплоскость.
Аналогично можно изобразить графически каждое ограничение задачи линейного программирования.
Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений или областью определения. Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (xj ³0, j=1,…, n). Координаты любой точки, принадлежащей области определения являются допустимым решением задачи.
Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении задач ЛП используют вектор–градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е.
.
Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. ............
