Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования
«Белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники»
кафедра ЭТТ
РЕФЕРАТ
На тему:
«Функционально полные системы логических функций. Алгебраический подход»
МИНСК, 2008
Из множества функционально полных наборов рассмотрим только те, которые имеют наибольшее практическое значение.
1. Основная функционально полная система логических функций. Наибольшее распространение получил набор, в состав которого входят три логические функции:
· f10 – инверсия (логическая связь НЕ, логическое отрицание);
· f1 – конъюнкция (логическая связь И, логическое умножение),
· f7 – дизъюнкция (логическая связь ИЛИ, логическое сложение).
Этот набор получил название функционально полной системы логических функций (ОФПС). Из теоремы о функциональной полноте следует, что основная функционально полная система логических функций является избыточной, так как условиям теоремы отвечают наборы функций f10 и f1 или f10 и f7. Свойства этих функций были рассмотрены ранее.
Из определения представления переключательной функции в виде дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формы следует, что эти представления реализуются в основной функционально полной системе логических функций.
2. Законы алгебры логики в ОФПС и их следствия. В алгебре логики имеются четыре основных закона, регламентирующих порядок производства операций НЕ, И, ИЛИ в любом логическом выражении:
· переместительный (коммутативный);
· сочетательный (ассоциативный);
· распределительный (дистрибутивный);
· инверсии (правило Де Моргана).
Переместительный закон. Этот закон справедлив как для дизъюнкции, так и для конъюнкции:
x1 Úx2 = x2 Úx1; x1 Ùx2 = x2 Ù x1. (1)
Справедливость выражения (5.1) нетрудно доказать простой подстановкой в него различных значений x1 и x2. Поскольку любую перестановку большего количества слагаемых можно свести к последовательности перестановок слагаемых в отдельных парах, то переместительный закон будет справедлив при любом числе слагаемых.
Сочетательный закон. Этот закон, так же как и переместительный, является симметричным, т. е. справедливым и для дизъюнкции, и для конъюнкции:
x1 Úx2 Úx3 = x1Ú(x2 Úx3) = (x1 Úx2)Úx3= x2Ú( x1 Úx3); (2)
x1 Ùx2 Ùx3 = x1Ùx2 Ùx3) = (x1 Ùx2)Ùx3= x2Ù( x1 Ùx3).
Доказательство этого закона также не представляет никаких трудностей и может быть выполнено простой подстановкой.
Распределительный закон. В отличие от обычной алгебры алгебра логики симметрична. В ней справедливы два распределительных закона:
для логического умножения относительно логического сложения (распределительный закон 1-го рода) и для логического сложения относительно логического умножения (распределительный закон 2-го рода). ............