Формулы сложения вероятностей.
    Из пункта 2 аксиомы, по которой вводилось определение вероятности события, следует, что если A1 и A2 несовместные события, то
     P() = P(A1) + P(A2)
    Если A1 и A2 - совместные события, то =(A1\ A2), причем очевидно, что A1\A2 и A2 - несовместные события. Отсюда следует:
     P() = P(A1\ A2) + P(A2) (*)
    Далее очевидно: A1=(A1\ A2), причем A1\ A2 и - несовместные события, откуда следует: P(A1) = P(A1\ A2) + P() Найдем из этой формулы выражение для P(A1\ A2) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:
     P()= P(A1) + P(A2) - P()
    Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив = ?.
    Пример 1. Найти вероятность вытащить туза или червовую масть при случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа.
     Р( ТУЗ ) = 4/32 = 1/8; Р( ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ) = 8/32 = 1/4;
     Р(ТУЗЧЕРВЕЙ )=1/32;
     Р(( ТУЗ ) (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ )) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32
    Того же результата можно было достичь с помощью классического определения вероятности, пересчитав число благоприятных исходов. Условные вероятности.
    Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?
    Определим пространство элементарных исходов: ?=(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет: А=(1,...,5,25,...,30,), а событие В - в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В=(1,2,3,...,20)
    Событие состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 - это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом, решение задачи определяется формулой
     Р(А/В) = P(А?В) /Р(B) (1)
    Р(А/В) называется условной вероятностью события A при условии, что событие В произошло. Формулу (1) можно рассматривать, как определение условной вероятности. Эту же формулу можно переписать в виде
     P(А?В)=Р(А/В)Р(B) (2)
    Формула (2) называется формулой умножения вероятностей (теоремой умножения вероятностей), а условная вероятность Р(А/В) здесь должна восприниматься просто по смыслу.
    Пример 2. Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?
    Пусть X - событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y - событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда - событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй - черным. P(Y/X) =3/9 =1/3 - условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P() = 7/30
    Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения
     P(А?В)= Р(А) Р(B)
    Докажите самостоятельно, что если А и В - независимые события, то и тоже являются независимыми событиями.
    Пример 3. ............