Формирование экономико-математической модели. Постановка задачи.
    Пусть имеется пять предприятий-изготовителей и одиннадцать потребителей одинаковой продукции. Известны производственные мощности изготовителей и потребности потребителей. Суммарные мощности предприятий больше потребности потребителей.
    Производственные мощности изготовителя составляют Ai. Потребность потребителя продукции равна Bj.
    На выпуск единицы продукции изготовитель i расходует Ri затрат. Известны затраты на доставку единицы продукции из пункта i в пункт j - Cij. Издержки транспорта значительны и должны быть включены в целевую функцию.
    Требуется составить такой план производства и поставок, чтобы суммарные расходы на производство и транспортировку были минимальны. Математическая формулировка задачи. Удовлетворение всех потребностей: Xij = Bj Неотрицательность грузовых потоков: Xij >= 0 Соблюдение ограничений мощности: Xij min
    От обычной транспортной задачи поставленная задача отличается тем, что показатель оптимальности складывается из двух составляющих. Однако, общие затраты на производство и транспортировку определяются простым суммированием.
    Таким образом, поставленная задача является открытой транспортной задачей. Исходные данные Предприятие А1 А2 А3 А4 А5 Производственные мощности 135 160 140 175 165 Затраты на ед. продукции в рублях 119 93 81 70 62 Потребители В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 Спрос потребителей 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 Матрица транспортных затрат, руб. (получена на основе данных по сети) Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 Отправители Номера вершин 3 12 24 35 19 30 16 9 31 5 A1 2 41 34 45 64 41 46 31 38 41 18 A2 33 47 22 12 21 13 7 12 36 2 36 A3 26 35 14 7 33 1 5 16 24 10 24 A4 21 40 40 38 39 31 37 42 29 42 51 A5 13 21 16 19 47 13 19 18 10 24 19 Суммированием затрат на производство и транспортных затрат в каждой клетке матрицы получаем расчетную матрицу. Расчетная матрица стоимостных затрат. Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 Отправи тели Ресурсы A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81
    Так как транспортная задача открытая, то мощности превышают потребности. Часть поставщиков в оптимальном плане остается недозагруженной. Для решения задачи в матричной форме вводится фиктивный потребитель - дополнительный столбец с потребностью, равной избытку ресурсов над реальными потребностями. Решение транспортной задачи. Исходные данные. Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 В10 В11 Отправи тели Ресурсы 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240 A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0 A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0 A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0 A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0 A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0 Итого 775 Решение Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 Отправи тели Ресурсы 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240 A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0 135 A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0 49 44 67 A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0 45 65 30 A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0 20 87 30 38 A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0 30 45 60 30 Итого 775
    Для подтверждения правильности решения оптимальный план, полученный в данной таблице проверяется методом потенциалов на соблюдение условий оптимальности . Условие оптимальности выглядит следующим образом: Vij - Uij 0
    Для всех клеток матрицы разность потенциалов столбца и строки меньше или равна показателю оптимальности, для занятых клеток точно равна его значению.
    Первый потенциал может быть присвоен любой строке или столбцу. ............