МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Контрольная работа
Решение задач по финансовой математике
Архангельск, 2010
Задание 1
Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (табл. 1)
Таблица 1. Исходные данные
t
Y(t)
1 39 2 50 3 59 4 38 5 42 6 54 7 66 8 40 9 45 10 58 11 69 12 42 13 50 14 62 15 74 16 46
ТРЕБУЕТСЯ
1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; = 0,6; = 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- Независимости уровней ряда остатков по d- критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;
- Нормальности распределения остаточной компоненты по R / S критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на один год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
РЕШЕНИЕ
I. Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; 2 = 0,6; 3 = 0,3.
Общий вид модели:
– расчетное значение уровня для момента времени t с периодом упреждения k;
k – период упреждения;
L – период сезонности;
(t – L) - индекс сезонного коэффициента за аналогичный период прошлого года;
Ft – мультипликативный индекс сезонности;
a0(t); a1(t) – параметры модели;
1. Найдем начальные оценки параметров и индекса сезонности при n = 8.
- линейная трендовая модель
Параметра а0 и а1 найдем используя МНК и систему нормальных уравнений:
Расчет необходимых сумм представлен в таблице 2
Таблица 2. Таблица для расчета параметров модели и расчетных значений
t
у(t)
t2
1 39 39 1 45,333 2 50 100 4 46,238 3 59 177 9 47,143 4 38 152 16 48,048 5 42 210 25 48,952 6 54 324 36 49,857 7 66 462 49 50,762 8 40 320 64 51,667 36 388 1784 204
Линейная трендовая модель при n = 8:
Для нахождения начальных оценок индекса сезонности нужно фактические значения признака разделить на расчетные и полученные значения усреднить по одноименным кварталам.
Расчетные значения признака получаем путем последовательной подстановки значений t в трендовую модель (последняя графа таблицы 2).
2. ............
