Курсова робота на тему:

«Факторіальні кільця та їх застосування»

Вступ

Завдання алгебри є вивчення алгебраїчних структур. Безперечно, алгебра вивчає далеко не всі алгебраїчні структури. Можна побудувати чимало прикладів алгебраїчних структур, але в переважній більшості вони не матимуть ніяких застосувань ні в теорії, ні в практиці, а «теорія» таких структур складатиметься з означень і тривіальних наслідків з них. Такі структури, очевидно, не можуть бути об'єктом вивчення.

У процесі розвитку математики виділилася й стала докладно вивчатися невелика кількість основних типів алгебраїчних структур, алгебраїчні операції в яких за своїми властивостями більш-менш близькі до операцій додавання і множення чисел. Найважливішими серед різних алгебраїчних структур є група, кільце, поле, лінійний простір, лінійна алгебра. Вивчення властивостей саме цих алгебраїчних структур, опис їх будови і зв'язків між ними й іншими основними математичними об'єктами є одним з найважливіших завдань алгебри на сучасному етапі її розвитку.

У цій роботі буде детально розглянуто властивості та особливості таких алгебраїчних структур, як кільця. А саме, розглядатимуться кільця, які є факторіальними, тобто кільця, що є областю цілісності і будь-який їхній елемент, відмінний від нуля і дільників одиниці, однозначно (з точністю до дільників одиниці і порядку множників) розкладається на добуток простих множників. Зокрема будуть досліджуватись кільця головних ідеалів, евклідові кільця, кільця многочленів від однієї та від кількох змінних.

Кожний розділ теоретичного матеріалу супроводжується задачами, в розв’язанні яких підтверджуються на практиці теореми та властивості, які були доведені в теоретичній частині, та розглядаються окремі конкретні випадки, які допомагають краще зрозуміти той чи інший нюанс тієї чи іншої теми зокрема та теорії кілець в цілому.

1. Кільця: означення та приклади

Означення Непорожня множина K на якій визначено дві бінарні алгебраїчні операції «+» і «·» називається кільцем, якщо виконуються умови:

1.  "a, b [a+b=b+a];

2.  "a, b, c [(a+b)+c=a+(b+c)];

3.  $θ,"a [a+θ=a];

4.  "a $ã [a+ã=θ];

5.  "a, b, c [(ab) c=a(bc)];

6.  "a, b, c [(a+b) c=ac+bc];

7.  "a, b, c [c (a+c)=ca+cb];

Якщо операція множення комутативна, то кільце комутативне. Перші чотири аксіоми означають, що відносно операції додавання кільце утворює адитивну абелеву групу.

Приклади кілець, що наводяться нижче свідчать про те, що система аксіом кільця несуперечлива.

№1 Множина цілих чисел Z є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення. Справді, множина Z є абелева група по додаванню, операція множення чисел, як відомо, асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

№2 Множина парних чисел є комутативне кільце відносно операцій додавання і множення чисел. Справді, ця множина є абельова група по додаванню, в ній визначена операція множення: добуток парних чисел є парне число, причому операція множення асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

№3 Множина R всіх дійсних чисел, очевидно також є кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

№4 Множина K всіх чисел виду , де a і b – будь-які раціональні числа, є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення. ............