1. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден. Ед. какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

Условие задачи:

стоимость 3 4 Состав удобрения Количество удобрений Необходимый минимум обычное улучшенное Азотное 3 2 10 Фосфорное 4 6 20 Калийное 1 3 7

1 составим математическую модель:

Обозначим через xj количество кг удобрения

x1- количество кг обычного удобрения;

x2- количество кг улучшенного удобрения.

Цель – наименьшая стоимость удобрения,

F= 3x1+4x2 →min

Ограничения:

По азотным удобрениям           3х1+2х2≥10

По фосфорным удобрениям      4х1+6х2≥20

По калийным удобрениям         1х1+3х2≥7

По смыслу х1≥0 х2≥0

Решим графическим способом.

Первое ограничение (по азоту) имеет вид 3х1+2х2≥10 найдем пересечение с осями координат, т. е. 3х1+2х2=10 – l1

Х1 0 10/3 Х2 5 0

0<10, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Второе ограничение 4х1+6х2=20 – l2

Х1 0 5 Х2 10/3 0

0<20, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Третье ограничение х1+3х2=7- l3

Х1 0 7 Х2 7/3 0

0<7 верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Для определения направления движения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с1;с2), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (3;4).

Построим линию уровня l0, приравняем целевую функцию к 0

3х1+4х2=0

Х1 0 -4 Х2 0 0

Передвигая линию уровня l0 в направлении обратном направлению вектора – градиента, т. к задача на минимум, достигнем минимальную точку целевой функции. Найдем координаты этой точки, решая систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку минимума:

(.) А = l1∩l3

3х1+2х2=10, *3 «-»

4х1+6х2=20

5х1=10

х1=2

Подставим в первое уравнение 3*2+2х2=10,

2х2=10-6,

2х2=4,

х2=2.

Fmin=3*2+4*2=6+8=14 ден. ед.

График:

Ответ: чтобы обеспечить эффективное питание почвы при минимизированной стоимости, которая составила 14 ден ед, необходимо купить 2 набора обычного удобрения и 2 набора улучшенного. Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+∞

2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

тип сырья норма расхода сырья на одно изделие запасы сырья А Б В Г 1 2 1 3 2 200 2 1 2 4 8 160 3 2 4 1  170 цена изделия 5 7 3 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. ............