1. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
Питательное вещество Количество питательных веществ в 1 кг корма 1 2
А
В
2
2
1
4
Цена 1 кг корма, тыс. руб. 0,2 0,3
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Решение:
Введем обозначения:
Х1 – количество корма 1 вида;
Х2 – количество корма 2 вида.
Целевая функция – F = 0,2 х1 + 0,3 х2
Ограничения: 2х1+1х2≥6
2х1+4х2≥12
х1, х2≥0
Решим задачу графическим способом
Первое ограничение имеет вид 2х1+1х2≥6, найдем пересечение с осями координат
Х1 0 3 Х2 6 0
Второе ограничение 2х1+4х2≥12, найдем пересечения с осями координат
Х1 0 6 Х2 3 0
Для определения направления движения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с1;с2), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (0,2;0,3).
Этот вектор показывает направление наискорейшее изменение функции.
Прямая f(х) = 0,2х1 + 0,3х2 = а1, перпендикулярная вектору – градиенту, является линией уровня целевой функции.
Для нахождения координат точки максимума решаем систему
2х1 + х2 = 6
2х1 + 4х2 =12
-3х2 = -6
х2 = 2
2х1+2=6
2х1 =4
х1 =2
Ответ: (2;2)
Fmin = 0,2*2+0,3*2=0,4+0,6=1
График:
Ответ: чтобы затраты были минимальными необходимо расходовать 2ед. первого корма и 2 ед. второго корма.
Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+∞
2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
тип сырья норма расхода сырья на одно изделие запасы сырья А Б В Г 1 1 0 2 1 180 2 0 1 3 2 210 3 4 2 0 4 800 цена изделия 9 6 4 7
Требуется:
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- Определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья 2 и 3 видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья 1 вида;
- Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение:
1. Сформулируем экономико – математическую модель задачи.
Переменные:
х1- количество единиц продукции А,
х2- количество единиц продукции Б,
х3- количество единиц продукции В,
х4- количество единиц продукции Г.
Целевая функция: F=9х1+6х2+4х3+7х4 →max,
Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции
Ограничение:
По 1 типу ресурса: 1х1+0х2+2х3+1х4≤180,
По 2 типу ресурса: 0х1+1х2+3х3+2х4≤210,
По 3 типу ресурса: 4х1+2х2+0х3+4х4≤800,
По смыслу х1;х2;х3;х4 ≥0.
Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. ............
