Курс: Теория информации и кодирования

Тема: ДВОИЧНО-ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ

Содержание

 

Введение

1.         ФУНКЦИИ РАДЕМАХЕРА

2.         ФУНКЦИИ УОЛША

3.         ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УОЛША

4.         ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УОЛША

Список литературы

Введение

Широкое использование спектрально-частотного представления процессов при исследовании сигналов и систем (преобразование Фурье) связанно с тем, что при гармонических воздействиях колебания сохраняют свою форму при прохождении через линейные цепи (системы) и отличаются от входных только амплитудой и фазой. Это свойство используют ряд методов исследования систем (например, частотные методы).

Но при реализации алгоритмов, использующих преобразование Фурье на ЭВМ, необходимо выполнять большое количество операций умножения (миллионы и миллиарды), что занимает большое количество машинного времени.

В связи с развитием средств вычислительной техники и применения их для обработки сигналов широко используются преобразования, содержащие в качестве ортогонального базиса кусочно-постоянные, знакопеременные функции. Эти функции легко реализуются с помощью средств вычислительной техники (аппаратно или программно) и их использование позволяет свести к минимуму время машинной обработки (за счет исключения операции умножения).

К числу таких преобразований можно отнести преобразования Уолша и Хаара, которые широко используются в области управления и связи. В области компьютерной технике эти преобразования используются при анализе и синтезе устройств логического типа, комбинационных схем особенно использующих большие и сверхбольшие интегральные схемы (БИС и СБИС), содержащие сотни тысяч элементов, выполняющих различные логические функции. Преобразования Уолша и Хаара используют кусочно-постоянные функции Уолша, Радемахера, и др., принимающие значения ±1, либо Хаара, принимающие значения ±1 и 0 на интервале определения [-0,5, 0,5] либо [0, 1].

Все эти системы взаимосвязаны и каждую из них можно получить как линейную комбинацию из другой (например: система Радемахера- составная часть системы Уолша). Обозначение функций связанных с авторами этих функций:

Уолша - Walsh - wal(n, Q),

Хаара- Haar- har(l, n ,Q),

Радемахера - Rademacher - rad(m, Q),

Адамара - Hadamard - had(h, Q),

Пели - Paley - pal(p, Q).

Все эти системы функции представляют собой системы двоично–ортогональных базисных функций.

1. Функции Радемахера

 

Функции Радемахера можно определить по формуле :

rad(m,Q) = sign[sin(2mpQ)], (1)

где 0 £ Q < 1- интервал определения; m- номер функции; m = 0, 1, 2, ...

Для m = 0 функция Радемахера rad(0,Q) = 1.

Знаковая функция sign(x) определяется соотношением

 (2)

Функции Радемахера это периодические функции с периодом 1, т. е.

rad(m,Q) = rad(m,Q+1).

 Первые четыре функции Радемахера показаны на рис. 1.

 1

 0 rad(0, Q)

 -1

 1

 0 rad(1, Q)

 -1

 1

 0 rad(2, Q)

 -1

 1 rad(3, Q)

 0

 -1

Q

 0 0.51

Рис. 1. Функции Радемахера

Дискретные функции Радемахера определяются дискретными значениями Q в точках отсчета. ............