Движение несвободной частицы. Силы реакции

Несвободной называется материальная точка, на движение которой (координаты и скорость) наложены некоторые ограничения. Всякий механизм является примером несвободной системы материальных точек.

Связями называются ограничения движений материальных точек, не зависящие от начальных условий движения и системы приложенных сил. Связи делятся на двухсторонние и односторонние ( 1.физический маятник из твердого стержня; 2.математический маятник на нити).

Связи бывают голономные (интегрируемые) и неголономные (они накладывают ограничения на скорость точек, неинтегрируемые).

Связи, ограничивающие перемещения материальных точек, действуют на эти точки посредством сил, называемых силами реакции связей.

В задачах динамики несвободной материальной точки пользуются принципом освобождения от связей. Отбрасывая мысленно связи, включают силы реакций связей в число задаваемых сил. При этом несвободная материальная точка рассматривается как свободная, движущаяся под действием задаваемых сил и сил реакций связей.

Динамика системы частиц. Движение центра масс, закон сохранения импульса системы.

Центром масс (или центром инерции) механической системы называется воображаемая точка, которой приписывается масса всей системы и положение которой определяется радиусом-вектором:

        (*)

Скорость и ускорение центра масс (ЦМ) можно получить дифференцированием предыдущей формулы по времени.

Импульсом механической системы  называется сумма импульсов точек системы:

Из (*) следует, что (**)

Определим уравнения движения центра масс. Из (**) следует:

где  по третьему закону Ньютона.

Итак,

Отсюда получаем закон изменения импульса системы:

По аналогии со случаем одной частицы, можно утверждать, что если проекция силы  не некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция импульса системы или проекция скорости центра масс системы на ту же ось сохраняется. Следовательно, в направлении этой оси центр масс движется равномерно.

В случае изолированной (замкнутой) системы материальных точек =0 (по определению). Отсюда следует, что

Мы получили закон сохранения импульса замкнутой системы.

Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно, и внутренние силы не могут изменить скорости (импульса) системы.

Закон сохранения кинетического момента системы

Уравнение движения каждой материальной точки системы умножим слева векторно на радиус- вектор этой точки . Учитывая определения момента импульса  и момента силы , получаем:

,

где  называется кинетическим моментом системы;

Учитывая 3-й закон Ньютона, имеем:
 Таким образом, получаем:

Закон изменения кинетического момента системы читается так:

Производная по времени кинетического момента системы равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему.

Если  При помощи секторной скорости это же запишется так:

В случае замкнутой системы  Мы получили закон сохранения кинетического момента замкнутой системы. Под действием внутренних сил кинетический момент замкнутой системы не изменяется.

 

Закон сохранения и превращения механической энергии системы частиц

Умножим уравнение движения материальной точки системы  на ее элементарное перемещение , учтем деление сил на внутренние и внешние. ............