Содержание
численное интегрирование формула программирование
Введение 1. Методы численного интегрирования
2. Квадратурные формулы
3. Автоматический выбор шага интегрирования
Заключение
Библиографический список
Введение
Цель реферата состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ.
При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида
. (1)
Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:
.
В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f(x) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования.
Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f(xi) = yi в некоторых узлах xi Î[a, b]. Затем выбирается интерполяционный многочлен P(x), проходящий через полученные точки (xi, yi), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1):
.
При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:
, (2)
где - узлы интерполирования, Ai – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами.
Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(х), осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R, характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность.
1. Методы численного интегрирования В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла
Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.
Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки в соответствующем отрезке.
В зависимости от выбора мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6)
(5)
(6)
Формула трапеции:
Формула Симпсона
где m=n/2
h=b-a/n
b, a - концы рассматриваемого отрезка.
Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков:
h=
По формуле левых прямоугольников:
По формуле трапеции:
По формуле Симпсона:
А результат полученный аналитически равен
=1
Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.
2. ............