ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ оптимального керування
1 Дискретизація задачі із закріпленим лівим і вільним правим кінцем. Необхідні умови оптимальності
Розглянемо неперервну задачу оптимального керування
,(1)
,(2)
, , . (3)
Виконаємо дискретну апроксимацію даної задачі. Для цього розіб’ємо відрізок точками , і будемо обчислювати значення цільового функціонала і закону руху тільки в точках розбиття: , , . Закон руху в цьому випадку можна записати у вигляді:
.
Тепер дискретна задача оптимального керування, що апроксимує неперервну задачу (1) – (3), матиме вигляд:
, , (4)
, (5)
(6)
, . (7)
Для пошуку оптимального розв’язку отриманої дискретної задачі може бути застосований метод множників Лагранжа. Функція Лагранжа має вигляд:
,
,(8)
де .
Обмеження на керування введемо далі, під час реалізації чисельного методу. Відзначимо, що перед першим доданком стоїть знак «–», оскільки і якщо не додавати «–», то характер екстремуму початкової функції зміниться.
Якщо – локально-оптимальний процес для задачі (4) – (7), то існують такі нерівні одночасно нулю множники Лагранжа , , , , що матимуть місце наступні умови:
1. або
,
,
. (10)
2. або
,
. (11)
Із (9) одержимо ітераційні співвідношення для спряжених змінних , а з (10) – співвідношення для :
, (12)
. (13)
Перепишемо співвідношення (12) у вигляді:
.
Очевидно, що останнє співвідношення є аналогом спряженої системи для неперервних задач керування. Дійсно,
.
Якщо , то з останнього співвідношення одержимо
.
Зі співвідношення (13) випливає, що .
Сформулюємо критерій оптимальності для задачі (4) – (7). Вважатимемо, що функції , неперервно-диференційовані за змінними і опуклі за . Тоді для локально-оптимального процесу існують такі множники Лагранжа , , , , не всі рівні нулю одночасно, що матимуть місце необхідні умови екстремуму:
1) умови стаціонарності в точці :
;
2) . (14)
Розпишемо (14), використовуючи вираз для функції Лагранжа:
Перетворимо вираз під знаком мінімуму, переходячи до довільного :
Або
Якщо , то з останнього співвідношення одержимо
2 Ітераційний метод розв’язання дискретної задачі оптимального керування з двійним перерахуванням
Розглянемо ітераційний метод пошуку оптимального керування задачі (4) – (7). Суть методу полягає в тому, що на кожній ітерації обчислюються два вектори: і . Перший із них містить -е наближення для керувань у моменти часу для системи (14), при , а другий – -е наближення для фазових станів системи в ці ж моменти часу. Отже, на кожній ітерації ми одержуємо процес , що є -м наближенням до шуканого оптимального процесу.
Контроль у методі подвійного перерахування полягає в повторному перерахуванні результатів задачі і порівнянні отриманих даних для різних значень кроку розбиття. У випадку розбіжності виконується корекція і обчислення повторюються.
Розглянемо алгоритм методу.
1. Задаємо крок розбиття та точність обчислень .
2. Задаємо початкове наближення – припустимий набір керувань на кожному кроці – початкову стратегію керування:
, , ,
де – наближення керування в момент на ітерації .
3. ............
