Билеты по математике
    Билет №1
    Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая фун-ия z=f(x;y). Разобъём обл. P на n частичных обл. Рi , где i=1...n, возмём произвольную точку обл. (?I;?I) ? Рi , ? - наиболь-ший диаметр чатичных обл.
    Построим частичную сумму - сумму Римена.
    
    Определение:
    
    Если существует конечный предел и не зависит от способа делений области на части и от выбора т. (?I;?I) в каждой из частичных областей, то такой предел принято называть двойным интегралом по обл. Р и пишут:
    
    В случае, если фун-ия f > 0 мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла: днойной интеграл - это объём некоторого цилиндрического тела, сверху ограниченного пов-тью z = (x;y), которая проектируется на плоскость XOY в обл. Р, а образующие параллельны OZ. Площадь обл. Р:
    
    Двойной интеграл от f(x;y) имеет многие св-ва, аналогичные св-ам одномерного интеграла.
    Св-ва двойного интеграла:
    1.Необходимым условием сущ. Двойного интеграла явл. ограниченность ф-ции f в обл. Р, т.е если сущ. интеграл, то f(x;y) - ограниченная.
    2.Всякая непрырывная ф-ция, заданная в обл. Р, интегри-руема.
    3.Если ф-ция f(x;y) в обл. Р имеет разрывы на конечном числе непрырывных кривых, принадлежащих этой обл., то f интегрирума по обл. Р.
    4.Сумма Дарбу:
    
    Теорема: Для того, чтобы двойной интеграл от ограниченной обл. Р существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:
    
    5.Аддетивность двойного интеграла, т.е., если задана обл.Р некоторой непрырывной кривой разбита на две обл-ти Р1иР2 не имеющих общих точек, то, если двойной интеграл по обл. Р существует, то существуют интегралы относительно по двум областям.
    
    6.Линейность:
    
    7.Если f(x;y) ? g(x;y) для ?(x;y)?P и ф-ции f и g интегрируемы, то соответственно справедливо неравенство:
    
    9.Если f(x;y) удовлетворяет нер-вам m ? f(x;y) ? M, то справедливо следующее неравенство:
    
    10.Для двойного интеграла имеет место теорема о среднем: если z = f(x;y) - ф-ция, заданая в обл. Р и такая, что во всех точках этой области выполняется нер-во m ? f(x;y) ? M, где
    
    то существует число ? такое, что справедливо равенство:
    
    В случае непрырывности ф-ции:
    Вопрос №3
    Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими кривыми: y=?1(x) a ? x ? a - снизу;
    y=?2(x) a ? x ? b - сверху; x = a - слева; x = b - справа;
    Тогда имеет место следующая теорема.
    Теорема: Если функция f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл
    
    для любого фиксированного x? [a ; b] существует одно- мерный интеграл
    
    то тогда существует повторный интеграл
    
    Доказательство:
    
    Обозначим c=inf ?1(x) a ? x ? b; d=max ?1(x) a ? x ? b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]?Д. P=R\Д (раз- ность множеств). Построим вспомогательную функцию
    
    Рассмотрим
    
    Получаем следующее равенство:
    
    Замечание: Пусть теперь область Д ограничена следующими линиями:
    
    x=?1(y) c ? y ? d - слева; x=?2(y) c ? y ? d - справа;
    x = c - сверху; x = d - снизу. ............