Слово алгоритм содержит в своем составе преобразованное географическое название Хорезм. Термин «алгоритм» обязан своим происхождением великому ученому средневекового Востока – Муххамад ибн Муса ал-Хорезми (Магомет, сын Моисея, из Хорезма). Он жил приблизительно с 783 по 850 годы, и в 1983 году отмечалось 1200-летие со дня его рождения в городе Ургенче – областном центре современной Хорезмской области Узбекистана. В латинских переводах с арабского арифметического трактата ал-Хорезми его имя транскрибировалось как algorismi. Откуда и пошло слово «алгоритм» – сначала для обозначения алгоритмов цифровых вычислений десятичной позиционной арифметики, а затем для обозначения процессов, в которых искомые величины решаемых задач находятся последовательно из исходных данных по определенным правилам и инструкциям.

Во всех сферах своей деятельности, и в особенности в сфере обработки информации, человек сталкивается с различными способами или методиками решения задач. Они определяют порядок выполнения действий для получения желаемого результата – можно трактовать это как первоначальное или интуитивное определение алгоритма. Некоторые дополнительные требования приводят к неформальному определению алгоритма.

Алгоритм – это заданное на некотором языке конечное предписание, задающее конечную последовательность выполнимых элементарных операций для решения задачи, общее для класса возможных исходных данных. Пусть D – область (множество) исходных данных задачи, а R – множество возможных результатов, тогда мы можем говорить, что алгоритм осуществляет отображение D → R. Поскольку такое отображение может быть не полным, то вводятся следующие понятия: алгоритм называется частичным алгоритмом, если мы получаем результат только для некоторых , и полным алгоритмом, если алгоритм получает правильный результат для всех .

Несмотря на все усилия исследователей, отсутствует одно исчерпывающе строгое определение понятия «алгоритм». Поэтому в теории алгоритмов были введены различные формальные определения алгоритма. При этом удивительным научным результатом является доказательство эквивалентности этих формальных определений в смысле их равномощности.

Варианты словесного определения алгоритма принадлежат российским ученым А.Н. Колмогорову и А.А. Маркову.

Алгоритм по Колмогорову – это всякая система вычислений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи.

Алгоритм по Маркову – это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату.

Следует отметить, что различные определения алгоритма, в явной или неявной форме, постулируют следующий ряд требований:

−  алгоритм должен содержать конечное количество элементарно выполнимых предписаний, т.е. удовлетворять требованию конечности записи;

−  алгоритм должен выполнять конечное количество шагов при решении задачи, т.е. удовлетворять требованию конечности действий;

−  алгоритм должен быть единым для всех допустимых исходных данных, т.е. удовлетворять требованию универсальности;

−  алгоритм должен приводить к правильному по отношению к поставленной задаче решению, т.е. удовлетворять требованию правильности.

Вплоть до 30-х годов прошлого столетия понятие алгоритма оставалось интуитивно понятным и имело скорее методологическое, а не математическое значение. ............