Аксиоматика теории множеств Введение
    Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики. §1. Система аксиом
    Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном является системой того же типа, что и система, предложенная первоначально фон Нейманом [1925], [1928], а затем тщательно пересмотренная и упрощенная Р. Робинсоном [1937], Бернайсом [1937-1954] и Гёделем [1940]. (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными отклонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса [1937-1954] и Гёделя [1940], мы будем употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, ... прописные латинские буквы X1, Х2, ... (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, ... для обозначения произвольных переменных.) Мы введем также сокращенные обозначения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак понимается как символ отношения принадлежности.
    Следующим образом определим равенство:
    Определение. Х=Y служит сокращением для формулы .
    Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.
    Определение. служит сокращением для формулы (включение).
    Определение. XY служит сокращением для Х Y & X ? Y (собственное включение).
    Из этих определений легко следует
    Предложение 1.
    (а) Х = Y (X Y & Y X);
    (b) Х = Х;
    (с) Х = Y Y = Х;
    (d) Х = Y (Y = Z Х = Z);
    (е) Х = Y (ZX ZY).
    Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, однако, отметим, что в той "интерпретации", которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы - это совокупности, соответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необходимых в математике классов и являются, достаточно скромными, чтобы из них нельзя было вывести противоречие). (Эта "интерпретация" столь же неточна, как и понятия "совокупность", "свойство" и т. д.)
    Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом.
    Определение. M(X) служит сокращением для Y(XY) (X есть множество).
    Определение. Pr(X) служит сокращением для M(X) (X есть собственный класс).
    В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоящему в том, что некоторые классы не являются множествами. ............