Реферат на тему: "Виды тригонометрических уравнений"
    Успенского Сергея
    
     Харцызск 2001 год
    Виды тригонометрических уравнений. 1. Простейшие тригонометрические уравнения: Пример 1. 2sin(3x - ?/4) -1 = 0. Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - ?/4). sin(3x - ?/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим 3х - ?/4 = (-1)n arcsin 1/2 + n?, n?Z. Зх - ?/4 = (-1)n ?/6 + n?, n?Z; 3x = (-1)n ?/6 + ?/4 + n?, n?Z; x = (-1)n ?/18 + ?/12 + n?/3, n?Z Если k = 2n (четное), то х = ?/18 + ?/12 + 2?n/3, n?Z. Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - ?/18 + ?/12 + ((2?n + 1)?)/3 = = ?/36 + ?/3 + 2?n/3 = 13?/36 + 2?n/3, n?z. Ответ: х1 = 5?/6 + 2?n/3,n?Z, x2 = 13?/36 + 2?n/3, n?Z, или в градусах: х, = 25° + 120 * n, n?Z; x, = 65° + 120°* n, n?Z. Пример 2. sinx + ?З cosx = 1. Решение. Подставим вместо ?З значение ctg ?/6, тогда уравнение примет вид sinx + ctg ?/6 cosx = 1; sinx + (cos?/6)/sin?/6 * cosx = 1; sinx sin ?/6 + cos ?/6 cosx = sin ?/6; cos(x - ?/6) = 1/2. По формуле для уравнения cosx = а находим
    х - ?/6 = ± arccos 1/2 + 2?n, n?Z; x = ± ?/3 + ?/6 + 2?n, n?Z;
    x1 = ?/3 + ?/6 + 2?n, n?Z; x1 = ?/2 + 2?n, n?Z;
    x2 = - ?/3 + ?/6 + 2?n, n?Z; x2 = -?/6 + 2?n, n?Z; Ответ: x1 = ?/2 + 2?n, n?Z; x2 = -?/6 + 2?n, n?Z. 2. Двучленные уравнения: Пример 1. sin3x = sinx. Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx * cos2x = 0. Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.
    sinx = 0 или cos2x = 0.
    x1 = ?n, n?Z, x2 = ?/4 + ?n/2, n?Z. Ответ: x1 = ?n, n?Z, x2 = ?/4 + ?n/2, n?Z. 3. Разложение на множители: Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx Решение. cosx ? 0; x ? ?/2 + ?n, n?Z. sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx. sinx * cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0; sinx = 0 или cosx - sinx +1=0; x1 = ?n, n?Z; cosx - cos(?/2 - x) = -1; 2sin ?/4 * sin(?/4 - x) = -1; ?2 * sin(?/4 - x) = -1; sin(?/4 -x) = -1/?2; ?/4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/?2 + ?n, n?Z; x2 = ?/4 - (-1) n+1 * ?/4 - ?n, n?Z; x2 = ?/4 + (-1) n * ?/4 + ?n, n?Z. Если n = 2n (четное), то x = ?/2 + ?n, если n = 2n + l (нечетное), то x = ?n. Ответ: x1 = ?n, n?Z; x2 = ?/4 + (-I)n * ?/4 + ?n, n?Z. 4. Способ подстановки Пример 1. 2 sin2x = 3cosx. Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0. Пусть z = cosx, |z| ? 1. 2z2 + 32z - 2=0. Д = 9+16 = 25; ?Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 - -не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение: cosx = 1/2; х = ± ?/3 + 2?n, n?Z. Ответ: х = ± ?/3 + 2?n, n?Z. 5. Однородные уравнения Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид: a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д. В этих уравнениях sinx ? 0, cosx ? 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx. Пример 1. ?3sin2 2x - 2sin4x + ?3cos22x = 0. Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла. Получим уравнение ?3sin22x - 4sin2xcos2x + ?3cos22x = 0. Разделим на cos22x. Уравнение примет вид ?3 tg22x - 4tg2x + ?3 = 0. Пусть z = tg2x, тогда ?3z2 - 4z + ?3 = 0; Д = 4; ?Д = 2. z1 = (4 +2)/2?3 = 6/2?3 = ?3; z2 = (4 - 2)/2?3 = 1/?3 tg2x = ?3 или tg2x = 1/?3 2x = ?/3 + ?n, n?Z; 2x = ?/6 + ?n, n?Z; x1 = ?/6 + ?n/2, n?Z ; x2 = ?/12 + ?n/2, n?z. Ответ: x1 = ?/6 + ?n/2, n?Z ; x2 = ?/12 + ?n/2, n?z. 6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5. Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1. sin? = 4/5; cos? = 3/5; sin(x+?) = 1, x + ? = ?/2 + 2?n, n?Z. Ответ: x = ?/2 - arcsin 4/5 + 2?n, n?Z. 7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений. Пример 1. 1/(?3-tgx) - 1/(?3 +tgx) = sin2x Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения tgx ? ± ?3, х ? ± ?/8 + ?n, n?Z и х ? ± ?/2 + ?n, n?Z. Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла. (?3 + tgx - ?3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x) x1 = ?n, n?Z Второе уравнение имеет вид 2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2 = ± ?/4 + ?n, n?Z. Ответ: x1 = ?n, n?Z; х2 = ± ?/4 + ?n, n?Z. 8. ............