Контрольна робота з теми:

ТЕОРІЯ СПОЖИВАННЯ

Вступ

Математичні моделі й методи, що досліджуються в даній роботі, є необхідними для вивчення споживчого поводження на ринку готової продукції, переваг індивідуального споживача, корисності й класифікації товарів, еластичності й інших властивостей попиту.

1. Математичний вступ: опуклі множини

Множину  називають опуклою, якщо разом з будь-якими двома своїми точками , ,  вона містить і всі точки вигляду , де .

Щоб пояснити геометричний зміст поняття опуклої множини, нагадаємо спосіб задання відрізка  між двома точками ,  в -вимірному просторі. Параметричне рівняння прямої, що проходить через точки , , має вигляд , де  – напрямний вектор прямої. При , при . Коли  змінюється в межах від 0 до 1, точка  пробігає весь відрізок між точками  і

.

З геометричної точки зору множина  є опуклою лише тоді, коли разом з будь-якими двома своїми точками ця множина містить і відрізок, який їх поєднує.

Для двовимірного простору прикладом опуклої множини є опуклий багатогранник. У просторі при  опуклими множинами можуть бути куля, еліпсоїд, еліптичний параболоїд, циліндр і тощо.

Опуклу множину, всі границі якої лінійні, називають опуклою багатогранною множиною (опуклим багатогранником).

Розглянемо властивості опуклих множин:

1. Якщо  – точки опуклої множини , то точка , де ,  також належить , де  називають опуклою комбінацією точок . Це окремий випадок лінійної комбінації. Дану властивість приймаємо без доказу.

2. Множина опуклих комбінацій будь-якої заданої кількості комбінацій з є опуклою множиною. Доказ цієї властивості не наводимо.

3. Якщо  і  – опуклі множини, а точки  і  такі, що  й , то весь відрізок знаходиться в обох множинах  і , тобто перетинання опуклих множин є опуклим.

Розглянемо доказ. Нехай , де  і  – опуклі множини. Розглянемо дві довільні точки  і  множини . Оскільки , то . З опуклості множини  випливає, що весь відрізок  належить . Так само, . Але тоді . Доказ завершено.

4. Сума двох опуклих множин опукла.

Розглянемо доказ. Нехай , де . Тоді в  і  знайдуться такі елементи, що , , , . Припустимо тепер  – довільне число, . Тоді

5. Основною властивістю, яка характеризує опуклі множини, є так звана властивість віддільності. Для пояснення цієї властивості розглянемо на площині замкнуту опуклу множину  і точку . Тоді знайдеться така пряма , що множина  і точка  знаходяться по різні сторони від цієї прямої, тобто для будь-якої точки  виконується нерівність , у той час, як .

2. Відношення переваги

Одним з основних елементів економічної теорії є споживач або група споживачів (домашнє господарство, родина). У споживача виникає задача раціонального ведення господарства (розподілу особистого бюджету). Отже, в даній задачі споживачеві необхідно з'ясувати, яку кількість кожного наявного товару або послуг він повинен придбати при заданих цінах  і відомому доході . Будемо аналізувати поводження споживача й у підсумку сформулюємо оптимізаційну математичну модель поводження споживача на ринку товарів і послуг.

Під товаром або послугою розумітимемо деяке благо, що надійшло в продаж у певний час в певному місці. Припустимо, існує кінцева кількість наявних товарів , кількість кожного з них характеризується набором товарів , де  – кількість -го товару (), придбана споживачем.

Простором товарів назвемо невід’ємний ортант  -вимірного простору, кожна точка  є певним набором товарів. ............