"Согласовано" "Утверждено" Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________ Методист ____________________ План-конспект занятия По теоретической физике Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61 Филатова Александра Сергеевича Дата проведения занятия: 13.12.2000 Тема: "Скобки Пуассона. Канонические преобразования"
    Цели: Развить навык обращения со скобками Пуассона. Развить навык использования канонических преобразований. Научить осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
    Тип занятия: практическое. Ход занятия
    Краткие теоретические сведения
    
    Скобки Пуассона:
    Канонические преобразования переменных - это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом:
    Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований.
    Примеры решения задач
    №9.6 [3] Показать, что уравнения Гамильтона можно записать в виде:
    №9.7 [3] Показать, что для функции канонических переменных имеют место соотношения:
    №9.10 [3] С помощью скобок Пуассона показать, что импульс системы является интегралом движения, если ее гамильтониан инвариантен относительно произвольного параллельного переноса системы в пространстве.
    Решение:
    По определению обобщенный импульс есть:
    Но в силу однородности времени функция Лагранжа явно от времени не зависит, следовательно, и выражение для импульса также не содержит в себе явной зависимости по времени:
    Тогда следуя формуле :
    При параллельном переносе тела в пространстве координаты каждой точки этого тела преобразуются по закону:
    При этом изменение гамильтониана равно нулю. Но с другой стороны изменение гамильтониана равно:
    Где суммирование идет по всем частицам системы. Но поскольку при параллельном переносе для каждой частицы , можем вынести его за знак суммы. Принимая во внимание, что , получим:
    С другой стороны для каждой декартовой компоненты имеет место соотношение вида:
    Здесь было использовано свойство аддитивности скобок Пуассона. Запишем совокупность этих соотношений в краткой форме:
    Сопоставляя и находим:
    Т.о. согласно :
    Что означает, что импульс системы является интегралом движения.
    №9.9 а) [3] Доказать, что скобки Пуассона .
    Принимая во внимание, что , и что импульсы и координаты являются независимыми переменными, получим:
    По определению:
    Проверяя равенство для всех значений i, т.е. для поочередно убеждаемся в тождественности последнего.
    
    №10.14 а-1) [4] Вычислить скобки Пуассона .
    В силу равенств :
    Компоненты вектора момента инерции можно записать как свертку тензоров (сам вектор является тензором I ранга): ,
    где - полностью антисимметричный тензор, причем ,
    остальные компоненты тензора равны нулю.
    Подставляя формулу в выражение , получим:
    Посчитаем по полученной формуле , к примеру, :
    №9.31 [3] Найти каноническое преобразование, соответствующее производящей функции: .
    Решение:
    Поскольку производящая функция явно от времени не зависит, .
    Такое преобразование явно не меняет вид канонических уравнений, к тому же сводит просто к взаимному переименованию координат и импульсов. ............