Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Связь комбинаторики с различными разделами математики
Выполнила:
студентка V курса математического факультета
Бородулина Юлия Анатольевна
Научный руководитель:
к. ф-м. н., доцент кафедры алгебры и геометрии
Е.М. Ковязина
Рецензент:
к. ф-м. н., доцент кафедры алгебры и геометрии
О.С. Руденко
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
§1. Применение леммы Бернсайда к решению комбинаторных задач......... 5
1.1. Орбиты группы перестановок.......................................................... 5
1.2. Длина орбиты группы перестановок. Лемма Бернсайда................ 5
1.3. Комбинаторные задачи.................................................................... 8
§2. «Метод просеивания».............................................................................. 21
2.1. Формула включения и исключения................................................ 21
2.2. Общий «метод просеивания» или «пропускания через решето». Решето Сильва-Сильвестра..................................................................................................... 23
2.3. Использование общего метода решета в теории чисел................. 23
§3. Разбиение фигур на части меньшего диаметра...................................... 28
§4. «Счастливые билеты».............................................................................. 34
Библиографический список........................................................................... 39
Введение
Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов называется комбинаторикой. Комбинаторика возникла в XVI веке. Вопросы, касающиеся азартных игр, явились движущей силой в развитии комбинаторики. Сейчас комбинаторные методы применяются как в самой математике, так и вне её – теория кодирования, планирование эксперимента, топология, конечная алгебра, математическая логика, теория игр, кристаллография, биология, статистическая физика, экономика и т.д.
Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования.
Цель дипломной работы: показать связь комбинаторики с различными разделами математики.
Задачи:
1. Изучить лемму Бернсайда и решить комбинаторные задачи о раскраске с её применением;
2. Показать применение метода «просеивания» для подсчёта количества простых и взаимно простых чисел;
3. Рассмотреть теорему Борсука, которая решает задачу для плоских фигур о разбиении их на части меньшего диаметра;
4. Решить задачу о «счастливых билетах».
Дипломная работа состоит из четырёх частей:
В § 1 рассмотрена связь теории групп с комбинаторикой: применение группы перестановок к решению комбинаторных задач. ............
