Федеральное агентство по образованию

Государственное муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

(ВятГГУ)

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Сингулярные интегралы.

Выполнила:

студентка V курса

математического факультета

Сколова Ирина Юрьевна

____________________

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов Артур Константинович

____________________

Рецензент:

кандидат физико-математических наук, доцент

Подгорная Ирина Иссаковна

____________________

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой       ___________________   Крутихина М. В.

«     »  _______________

Декан факультета ___________________   Варанкина В. И.

«     »  _______________

Киров 2005

Оглавление

Введение………………………………………………………………………...с. 3

§1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11

§3. Приложения в теории рядов Фурье.............................................................с. 18

§4. Сингулярный интеграл Пуассона................................................................с. 23

Литература……………………………………………………………………...с. 27

Введение

Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье. 

Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла  при  со значением функции f (t) в точке x. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.

Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой, если существует конечный интеграл от этой функции.

В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.    

Определение. Если в точке x будет  и , то точка x называется точкой Лебега функции f (t).

Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция , что .

Если, в частности, , то и .

Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.    

Определение. Пусть дано измеримое множество E. Взяв произвольную точку x и число h>0, положим E(, h)=E∙[-h, +h]. Это тоже измеримое множество.

Предел отношения  при h→0 называется плотностью множества E в точке  и обозначается через .

Определение. Пусть функция f (x) задана на сегменте [a, b] и . ............