СФЕРА
    
    
    СОДЕРЖАНИЕ
    ВВЕДЕНИЕ 3
    МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ. 4
    ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В 5
    СФЕРА . 6
    НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ . 7
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 11
    
    ВВЕДЕНИЕ
    Многие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих его факторов могут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядоченному набору чисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, становится в соответствие значение исследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.
    Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объём данного количества газа вычисляется по формуле
    ,
    где - постоянная, - масса, - абсолютная температура и - давление газа. Таким образом, значение зависит от переменной упорядоченной тройки чисел или, как говорят есть функция трёх переменных .
    Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного.
    Как и в случае функции одного переменного, изучение функции многих числовых переменных начинается с описания их области определения.
     МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ.
    Условимся через обозначать множество всех упорядоченных наборов , состоящих из действительных чисел .
    Каждый такой набор будем обозначать одной буквой и в соответствии с удобной геометрической терминологии называть точкой множества .
    Число в наборе называют -й координатой точки .
    Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве расстояние между точками , по формуле
     (1)
    Функция
    ,
    определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойствами:
    a) ;
    b) ;
    c) ;
    d) .
    Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского.
    Функцию, определённую на парах точек некоторого множества и обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в .
    Множество вместе с фиксированной в нём метрикой называют метрическим пространством.
    Таким образом, мы превратили в метрическое пространство, наделив метрикой, заданной соотношением (1).
    Из соотношения (1) следует, что при
     (2)
    т. е. расстояние между точками мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.
    Из (2), как и из (1), видно, что при множество совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.
    
    ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В
    Определение 1. При множество
    
    называется шаром с центром радиуса или также -окрестностью точки .
    Определение 2. ............