Зміст

Вступ

1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса

2. Метод Гауса

3. Метод Жордана-Гауса

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

При розв’язуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь можливі такі випадки:

а) система має єдиний розв’язок;

б) система має безліч розв’язків;

в) система не має розв’язків.

У випадках а) і б) систему називають сумісною, а у випадку в) - несумісною.

Якщо система сумісна і має єдиний розв’язок то її називають визначеною, а коли безліч розв’язків - невизначеною. Випадок, коли система має кінцеве число розв’язків більше одного неможливий.

Позначимо через  матрицю системи.

.

Через  позначимо матрицю, яка одержується із матриці  шляхом приєднання стовпця вільних членів

.

Матрицю  називають розширеною матрицею системи (1).

Для того, щоб система рівнянь із  невідомих і  рівнянь була сумісною необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи  дорівнював рангу розширеної матриці :

.

 

Зауваження. У випадку сумісності системи система має єдиний розв’язок (визначена), коли  і нескінченну кількість розв’язків (невизначена), коли , де  - кількість невідомих.

Однорідна система  лінійних рівнянь з  невідомими має вигляд:

Однорідна система завжди сумісна, так як вона має розв'язок , який називається нульовим або тривіальним.

Якщо визначник системи , то тривіальний розв’язок буде єдиним розв’язком системи (3). Відмітимо, що ранг матриці системи і ранг розширеної матриці рівні.

Якщо , тоді ранг матриці системи і ранг розширеної матриці системи (3) менше числа . Припустимо, що вони дорівнюють . Тоді система (3) має нескінченну множину розв’язків

,

де  - довільне дійсне число, а  - алгебраїчні доповнення елементів -го рядка матриці системи. Дійсно, підставляючи ці числа в ліві частини рівнянь системи (3), одержимо:

Рівняння системи перетворились в тотожності, так як якщо сума

дорівнює нулеві (ця сума є сумою добутків елементів -го рядка визначника на алгебраїчні доповнення другого -го рядка визначника). Якщо  сума

також дорівнює нулеві, так як вона дорівнює визначнику системи , який дорівнює нулеві.

Відмітимо, що при побудові розв’язку системи беруться алгебраїчні доповнення того рядка, де хоч би одне із  не дорівнювало б нулю.

1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса

 

1. Основні означення та результати

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими:

 (1)

 

Означення. Розв’язком системи (1) називається сукупність значень невідомих

що задовольняють усі рівняння системи (1).

Означення. Система рівнянь (1) називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.

Дві системи рівнянь з однаковими невідомими називаються рівносильними, якщо кожний розв’язок однієї системи є розв’язком іншої системи або якщо ці системи рівнянь несумісні.

У результаті еквівалентних перетворень системи рівнянь завжди дістаємо рівносильну систему рівнянь. ............