Определение правильного многогранника.
    Определение. Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани - равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; 4) все его двугранные равны.
    Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани - равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углы куба прямые. Правильный тетраэдр также является правильным многогранником.
    Возникает вопрос: сколько существует различных типов правильных многогранников?
    Пять типов правильных многогранников.
    Рассмотрим произвольный правильный многогранник М, у которого В вершин, Р ребер и Г граней. По теореме Эйлера для этого многогранника выполняется равенство:
    В - Р + Г = 2. (1)
    Пусть каждая грань данного многогранника содержит m ребер (сторон), и в каждой вершине сходятся n ребер. Очевидно,
     m, n. (2)
    Так как у многогранника В вершин, и каждой из которых сходятся n ребер, то получаем n ребер. Но любое ребро соединяет две вершины многогранника, поэтому в произведение n каждое ребро войдет дважды. Значит у многогранника имеется различных ребер. Тогда
     = Р В = . (3)
    Далее, в каждой грани многогранника М содержится m ребер, а число граней равно Г. Так как каждое ребро принадлежит двум смежным граням, то число различных ребер многогранника равно . Тогда
     =Р Г=. (4)
    Из (1), (3), (4) получаем - Р + = 2, откуда
     + = + > . (5)
    Таким образом, имеем
    
    
    Из неравенств 3 и 3 следует, что гранями правильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники. Причем в случаях m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 приходим к противоречию с условием . Поэтому остаются возможными пять случаев: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5.
    Рассмотрим каждый из этих случаев, используя соотношения (5), (4) и (3).
    1) m = n = 3 (каждая грань многогранника - правильный треугольник. Это - известный нам правильный тетраэдр ("тетраэдр" означает четырехгранник).
    2) m = 4, n = 3 (каждая грань квадрат, и в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем
    Р = 12; В = 8; Г = 6.
    Получаем правильный шестигранник, у которого каждая грань - квадрат. Этот многогранник называется правильным гексаэдром и является кубом ("гексаэдр" -- шестигранник), любой параллелепипед - гексаэдр.
    3) m = 3, n = 4 (каждая грань -правильный треугольник, в каждой вершине сходятся четыре ребра). Имеем
    Р = 12; В = =6; Г = =8.
    Получаем правильный восьмигранник, у которого каждая грань - правильный треугольник. Этот многогранник называется правильным октаэдром ("октаэдр" -- восьмигранник).
    
    4) m = 5, n = 3 (каждая грань - правильный пятиугольник, в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем:
    Р = 30; В = = 20; Г = = 12.
    Получаем правильный двенадцатигранник, у которого каждая грань - правильный пятиугольник. Этот многогранник называется правильным додекаэдром ("додекаэдр" -- двенадцатигранник).
    
    
    
    
    5) m = 3,n = 5 (каждая грань - правильный треугольник, в каждой вершине сходятся пять ребер). ............