МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

"Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства"

Гомель 2005

Введение

В обыденной речи мы часто говорим об одинаковости (о равенстве) каких-то объектов (предметов, множеств, абстрактных категорий), не заботясь о надлежащем уточнении смысла, который мы вкладываем в слово "одинаковый". В главе первой попробуем выявить и раскрыть понятие "одинаковости", определим термины "эквивалентность" и "отношение эквивалентности".

Не менее важной является ситуация, когда нам приходится устанавливать сходство объектов. Если одинаковость объектов означает их взаимозаменимость в некоторой ситуации, то сходство – это частичная взаимозаменимость, т.е. возможность взаимной замены с некоторыми (допустимыми в данной ситуации) потерями, с допустимым риском. Во второй главе попробуем раскрыть понятие "толерантности" на базе таких терминов, как "одинаковость" и "сходство" объектов.

А в третьей главе подробнее рассмотрим применение понятий отношений эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека.

Реферат

Курсовая работа содержит: 41 страница, 3 источника, 1 приложение.

Ключевые слова: отношение эквивалентности, отношение толерантности, одинаковость, сходство, взаимозаменимость, классы эквивалентности, пространство толерантности, классы толерантности, предкласс, базис.

Объект исследования: отношения эквивалентности и толерантности.

Предмет исследования: свойства отношений эквивалентности и толерантности.

Цель работы: используя рекомендуемую литературу рассмотреть понятия отношений эквивалентности и толерантности; рассмотреть приложения этих понятий в различных областях знаний и практики человека.

Методы исследования: методы теории множеств и теории отношений.

Задачами курсовой работы являются: изучить свойства отношений эквивалентности и толерантности и их приложения в конкретных областях знаний.

1. Отношение эквивалентности

1.1 Определение и примеры

1.1.1 Определение

Систему непустых подмножеств  множества  мы будем называть разбиением этого множества, если

1)  и

2)  при .

Сами множества  называются при этом классами данного разбиения.

1.1.2 Определение

Отношение  на множестве  называется эквивалентностью (или отношением эквивалентности), если существует разбиение  множества  такое, что соотношение  выполняется тогда и только тогда, когда  и  принадлежат некоторому общему классу  данного разбиения.

Пусть  – разбиение множества . Определим, исходя из этого разбиения, отношение  на : , если  и  принадлежат некоторому общему классу  данного разбиения. Очевидно, отношение  является эквивалентностью. Назовем  отношением эквивалентности, соответствующим исходному разбиению.

Например, разбиение состоит из подмножеств множества , содержащих ровно по одному элементу. Соответствующее отношение эквивалентности есть отношение равенства . Наконец, если разбиение множества  состоит из одного подмножества, совпадающего с самим , то соответствующее отношение эквивалентности есть полное отношение: любые два элемента являются эквивалентными.

Пустое отношение (на непустом множестве!) не является эквивалентностью.

Мы подошли к эквивалентности через понятие взаимозаменимости. ............