МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

кафедра інформатики

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

ПО КУРСУ: Чисельні методи

на тему: «Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці»

 

Зміст

Постановка задачі

Вступ

1 Теоретична частина

2 Програмна реалізація

Список використаної літератури

Постановка задачі

Використовуючи метод кінцевих різниць , розв’язати крайову задачу для звичайного диференціального рівняння

Вступ

Нехай потрібно чисельно розв’язати задачу Коші для звича-йного диференціального рівняння першого порядку, тобто знайти наближений розв’язок диференціального рівняння  y=F(x,y), що задовольняє початковій умові y(x)=y.Чисельне розв’язання задачі полягає в побудові таблиці наближених значень y,y,y,...,y-розв’язку рівняння y=(x ) у точках x,x,x,...,x - вузлах сітки .

                        y                                                        

                       yn                                                                                   *

                       y3                                      *

                       y2                                        *

                       y1                             *

                       y0                 *

                       O            x0     x1    x2     x3                   xn              x

На рисунку * позначені точки, що відповідають наближено-му розв’язку задачі Коші. Треба зазначити, що частіше використо-вують систему рівновіддалених вузлів x =x + ih (i=1,2,..,n) , де h - крок сітки

( h > 0 ) .

1 Теоретична частина

Методи Рунге-Кутта

Різні представники цієї категорії методів  потребують більшого чи меншого об’єму обчислень і відповідно забезпечують більшу чи меншу точність. При розв’язанні конкретної задачі виникають питання, якою із формул Рунге-Кутта доцільно скористатися і як вибрати крок сітки.

Якщо  неперервна й обмежена разом із своїми четвертими похідними, то гарні результати дає метод четвертого порядку. Він описується системою наступних п'яти співвідношень:

1  

2  

3     ();

4  

5  

Якщо функція не має зазначених похідних, порядок точності вищенаведеного методу не може бути реалізований. Тоді необхідно користуватися методами меншого порядку точності, що відповідає порядку наявних похідних.

Одним з найбільш простих і досить ефективних методів

 оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних  кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці хi подається у вигляді

 .

За формулою Рунге

 

Таким чином, із точністю до (величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:

 

де yi  – наближене значення, отримане в точці з кроком h; y2i  – із кроком h/2; p  - порядок методу; y(x2i)  - точний розв’язок задачі.

Метод прогнозу і корекції

Підправивши схему Эйлера , одержимо схему прогнозу

,

де наближене значення . Цю формулу використовувати не можна ,оскільки схема прогнозу нестійка . ............