Предисловие

    В данной работе рассмотрен метод комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».

    Метод комплексных чисел в иностранной литературе используется достаточно широко. Однако в отечественной литературе этот метод не получил широкого распространения. Имеются отдельные фрагменты в книге З. А. Скопеца. Систематическое изложение этого метода дано в книге Я. П. Понарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах». Нами выбраны и решены на наш взгляд наиболее интересные задачи, выполняемые этим методом.

    Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть коротким.

 

§ 1 Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность.

    1.1. Коллинеарность векторов.

                                                                         (1.2)

    1.2. Коллинеарность трёх точек.

                                                                                            (1.3)

Это – критерий принадлежности точек А, В, С одной прямой.

                                                                                                   (1.5)

определяет прямую, содержащую хорду АВ единичной окружности.

    1.3. Перпендикулярность отрезков (векторов).

                                                        (1.7)

Уравнение касательной

                                                                                                   (1.8)

                                                                                                       (1.9)

    З а д а ч а 1. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными к описанной окружности в противоположных им вершинах коллинеарны.

  § 2 Углы и площади

    2.1. Угол между векторами.

(2.1)

                                                                                                  

(2.2)

 

    2.2. Площадь треугольника

                                  (2.3)

    З а д а ч а 2. Основание D высоты CD треугольника ABC делит сторону AB в отношении 3:1. Угол ACD вдвое больше угла BCD. Вычислить углы треугольника ABC.

 

§ 3 Многоугольники

    3.1. Подобные треугольники.

                                          (3.1)

где  – комплексное число,  – коэффициент подобия.

                                          (3.2)

где  – комплексное число,  – коэффициент подобия. ............