Матрицы и определители Матрицы. Операции над матрицами
    Прямоугольной матрицей размера m x n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде
    A = (4.1)
    или сокращенно в виде A = (aij) (i = ; j = ). Числа aij, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (aij) и B = (bij) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если aij = bij.
    Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.
    Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m x n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:
    .
    Если все элементы aii диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:
    E = .
    Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.
    Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу
    AT = ,
    которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.
    Произведением матрицы А на число ? называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число ?: ?A = ( ?aij).
    Суммой двух матриц А = (aij) и B = (bij) одного размера называется матрица C = (cij) того же размера, элементы которой определяются по формуле cij = aij + bij.
    Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
    Произведением двух матриц А = (aij) и B = (bjk), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (cik), элементы которой определяются по следующему правилу:
    cik = ai1b1k + ai2b2k + ... + aimbmk = aisbsk. (4.2)
    Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. 2. Определители
    Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. ............