Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Дипломная работа
Максимальные факторизации симплектических групп
Исполнитель:
Студентка группы М-32
Макаренко Л.А.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Сафонов В.Г.
Гомель 2006
Оглавление
Введение
Перечень условных обозначений
Основные понятия
Изометрии
Проективные преобразования
Структурные теоремы. Порядки симплектических групп
Центры
Коммутанты
Теоремы о простоте
Основные результаты
Заключение
Список использованных источников
Введение Говорят, что конечная группа допускает факторизацию, если для некоторых подгрупп и группы . При этом возникают две задачи: какие факторизации допускает заданная группа и как строение сомножителей и влияет на строение самой группы . Естественно, что изучение конечных групп, обладающих факторизацией, дает возможность глубже понять строение конечной группы. Данная тематика изучалась такими видными математиками как Ф. Холл, С.А. Чунихин, Х. Виландт, Л.С. Казарин, Д.И. Зайцев, С.А. Сыскин и др. Ими был доказан ряд глубоких результатов в теории конечных групп. Аналогичные задачи возникают и в других разделах математики (например, в алгебрах Ли).
После завершения классификации конечных простых неабелевых групп актуальной стала задача получения факторизаций конкретных простых неабелевых групп и, в частности, простых групп лиевского типа малого лиевского ранга. Данные вопросы рассматривались Н. Ито, который получил все факторизации линейных групп лиевского ранга 1 над конечным полем Галуа, а также С. Блаумом, описавшим факторизации линейных и унитарных групп размерности 3.
В дипломной работе рассмотрены факторизации четырехмерных симплектических групп. Для таких групп найдены все максимальные факторизации.
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Буквами обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- мощность множества ;
- пустое множество;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
Пусть - группа. Тогда:
- порядок группы ;
- порядок элемента группы ;
- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
- множество всех простых делителей порядка группы ;
- множество всех различных простых делителей натурального числа ;
-группа - группа , для которой ;
-группа - группа , для которой ;
- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп ;
- наибольшая нормальная разрешимая подгруппа группы ;
- наибольшая нормальная --подгруппа группы ;
- наибольшая нормальная --подгруппа группы ;
- --холловская подгруппа группы ;
- силовская --подгруппа группы ;
- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;
- является подгруппой группы ;
- является собственной подгруппой группы ;
- является максимальной подгруппой группы ;
- является нормальной подгруппой группы ;
- является минимальной нормальной подгруппой группы ;
- индекс подгруппы в группе ;
;
- централизатор подгруппы в группе ;
- нормализатор подгруппы в группе ;
- центр группы ;
- циклическая группа порядка ;
Если , то .
Если , , то .
Классы групп, т.е. ............
