Кооперативные игры
    Кооперативные игры получаются в тех случаях, когда, в игре n игроков разрешается образовывать определённые коалиции. Обозначим через N множество всех игроков, N={1,2,...,n}, а через K любое его подмножество. Пусть игроки из K договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. Очевидно, что число таких коалиций, состоящих из r игроков, равно числу сочетаний из n по r , то есть , а число всевозможных коалиций равно
    = 2n 1.
    Из этой формулы видно, что число всевозможных коалиций значительно растёт в зависимости от числа всех игроков в данной игре. Для исследования этих игр необходимо учитывать все возможные коалиции, и поэтому трудности исследований возрастают с ростом n. Образовав коалицию, множество игроков K действует как один игрок против остальных игроков, и выигрыш этой коалиции зависит от применяемых стратегий каждым из n игроков.
    Функция ?, ставящая в соответствие каждой коалиции K наибольший, уверенно получаемый его выигрыш ?(K), называется характеристической функцией игры. Так, например, для бескоалиционной игры n игроков ?(K) может получиться, когда игроки из множества K оптимально действуют как один игрок против остальных N\K игроков, образующих другую коалицию (второй игрок).
    Характеристическая функция ? называется простой, если она принимает только два значения: 0 и 1. Если характеристическая функция ? простая, то коалиции K, для которых ?(K)=1, называются выигрывающими, а коалиции K, для которых ?(K) = 0, проигрывающими.
    Если в простой характеристической функции ? выигрывающими являются те и только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую коалицию R, то характеристическая функция ?, обозначаемая в этом случае через ?R, называется простейшей.
    Содержательно простые характеристические функции возникают, например, в условиях голосования, когда коалиция является выигрывающей, если она собирает более половины голосов (простое большинство) или не менее двух третей голосов (квалифицированное большинство).
    Более сложным является пример оценки результатов голосования в Совете безопасности ООН, где выигрывающими коалициями являются все коалиции, состоящие из всех пяти постоянных членов Совета плюс ещё хотя бы один непостоянный член, и только они.
    Простейшая характеристическая функция появляется, когда в голосующем коллективе имеется некоторое "ядро", голосующее с соблюдением правила "вето", а голоса остальных участников оказываются несущественными.
    Обозначим через ?G характеристическую функцию бескоалиционной игры. Эта функция обладает следующими свойствами :
    персональность
    ?G(?) = 0,
    т.е. коалиция, не содержащая ни одного игрока, ничего не выигрывает;
    супераддитивность
    ?G(K?L) ? ?G(K) + ?G(L), если K, L ? N, K?L ? ?,
    т.е. общий выигрыш коалиции не меньше суммарного выигрыша всех участников коалиции;
    дополнительность
    ?G(K) + ?(N\K) = ?(N)
    т.е. для бескоалиционной игры с постоянной суммой сумма выигрышей коалиции и остальных игроков должна равняться общей сумме выигрышей всех игроков.
    
    Распределение выигрышей (делёж) игроков должно удовлетворять следующим естественным условиям: если обозначить через xi выигрыш i-го игрока, то, во-первых, должно удовлетворяться условие индивидуальной рациональности
    xi ? ?( i ), для i ?N
    т.е. ............